假设检验

假设检验在预先写明的统计模型下，比较“若原假设成立，当前样本有多不寻常”。它是有误判风险的决策程序，不是用一个样本证明某个总体命题永真或永假。

先确定要检验什么

假设某种产品的平均装量目标是100克，按独立正态模型且已知单件标准差12克。从总体随机抽取36件，得到均值104克。想检验装量是否高于目标，可设 $H_0:\mu =100$、$H_1:\mu >100$，并在看数据前定显著性水平 $\alpha =0.05$。均值在 $H_0$ 下的标准误为 $12/\sqrt{36}=2$ 克，检验统计量是 $$z=\frac{104-100}{2}=2.$$ 标准正态右尾 $P(Z\ge 2)\approx 0.0228$，小于0.05，因此按预先规则拒绝 $H_0$，样本为平均装量偏高提供证据。若题目问“是否不同于目标”，备择为 $\mu \ne 100$，必须用双侧尾部；不能看见均值偏高后临时把双侧改成单侧。

决策与参数本身

在此单侧正态检验中，$\alpha =0.05$ 对应临界值约1.645；均值的拒绝界是 $100+1.645\times 2=103.29$ 克。假定原假设真实，重复抽样中约5%的均值仍可能超过这个界，造成第一类错误。未越界则只是没有足够证据拒绝，不等于已证明 $H_0$ 正确。

检验依赖样本取得方式、模型分布和统计量选择。若总体标准差未知，小样本正态均值检验通常改用学生t分布；若样本不是随机取得，计算出的p 值也无法自动修复选择偏差。报告结论时同时给出差值4克、样本量和估计不确定度，才能判断统计证据与实际影响是否相称。

参考资料

• 宾夕法尼亚州立大学 STAT 500：Hypothesis Testing：假设、统计量和检验规则。
• OpenStax《Introductory Statistics 2e》§9.1：原假设与备择假设。