全纯函数

全纯函数（holomorphic function）是在一个开集内每一点都复可微的复值函数。复可微要求一个差商在所有复方向上趋于同一极限，比把函数当作二元实函数分别求偏导严格得多。全纯性是复积分、幂级数展开和留数计算共同依赖的局部条件。

设 $\Omega \subset ℂ$ 为开集，$a\in \Omega$。若有限极限 $$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$ 存在，就称函数在 $a$ 复可微。这里 $h$ 是复数，允许沿任何路径接近零；若每个 $a$ 都满足，则称 $f$ 在 $\Omega$ 全纯。

复线性的一阶近似

复导数存在等价于 $$f(a+h)=f(a)+f^{\prime }(a)h+o(|h|).$$ 理由是余项除以 $h$ 的模，等于余项模除以 $|h|$。一阶变化只由一个复数乘法控制，所以两个实方向的变化必须协调。若写 $f=u+iv$，实导数矩阵必须形如 $$\left(\begin{array}{cc}p& -q\\ q& p\end{array}\right),$$ 即满足柯西—黎曼方程；在有实可微性的前提下，这个矩阵条件也足以保证复可微。

从定义还可看出复可微蕴含连续：将函数增量写成 $h$ 乘以差商，差商有有限极限，故增量趋于零。连续的反方向则不成立。

倒数函数的完整差商

取 $f(z)=1/z$，定义域为去心平面 $ℂ\setminus \{0\}$。对任意 $a\ne 0$，当增量充分小时 $a+h\ne 0$，有 $$\begin{array}{cc}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}& =\frac{1/(a+h)-1/a}{h}\\ & =-\frac{1}{a(a+h)}.\end{array}$$ 无论增量沿何方向趋于零，右端都趋于 $-1/a^2$。因此倒数在去心平面全纯。它不在零附近全纯，也不是整函数；但不能据此说它在任何地方都“不解析”。

例如在 $a=1+i$，因 $a^2=2i$，导数为 $i/2$。一阶近似是 $$\frac{1}{1+i+h}=\frac{1-i}{2}+\frac{i}{2}h+o(|h|).$$ 也可继续作几何展开，验证余项在 $|h|<|1+i|$ 时从二次项起。

变式。 对 $g(z)=1/(z-2)$，同样计算得定义域是 $ℂ\setminus \{2\}$，导数为 $-1/(z-2{)}^2$。在原点导数为 $-1/4$，并不因函数有别处的极点而失效。

单点复可微不保证邻域全纯

令 $q(z)=|z{|}^2$。在零点， $$\frac{q(h)-q(0)}{h}=\bar{h}\to 0,$$ 所以它在那里复可微，导数为零。但在任意非零 $a$，差商可写成 $$\bar{a}+a\frac{\bar{h}}{h}+\bar{h}.$$ 沿实增量，极限为 $\bar{a}+a$；沿纯虚增量，极限为 $\bar{a}-a$。两者相等要求 $a=0$，故它在非零点均不可复微。零的每个邻域都包含这样的点，所以 $|z{|}^2$ 在零附近也不是全纯函数。

这与实多项式的光滑性没有矛盾。作为 $(x,y)\mapsto x^2+y^2$，它的所有实偏导都存在且光滑；复可微额外要求一阶矩阵由同一个复数乘法给出。

局部条件带来的强结论

全纯函数一开始只要求一次复导数存在，不必再把高阶导数存在或一阶导数连续作为定义条件。柯西积分公式进一步保证它有任意阶复导数，并在每个足够小的圆盘里等于收敛的泰勒级数。因此在一元复分析中，全纯与局部解析等价。

这不能照搬给一般实光滑函数。例如实函数 $e^{-1/x^2}$ 在零补值零后无限可微，零点所有阶导数均为零，却不在零附近等于零泰勒级数。复平面上的相应表达式在零有本性奇点，正好说明实轴信息不足以决定复邻域的全纯性。

对多项式、商、复合等构造，可以用求导法则继承全纯性，但商的分母必须非零、复合函数的像必须落在外层函数的定义域内。这些域条件与算出的导数公式同样重要。

参考文献

Jiří Lebl，Guide to Cultivating Complex Analysis，1.9，2026-07-11，§2.1—2.2（定义、一阶近似、运算法则），§3.3.1（全纯蕴含解析）。