整函数

整函数（entire function）是在整个复平面上全纯的函数。多项式、复指数和复正弦余弦都是整函数；它们不必是多项式，也不必在复平面有界。定义中的“整个”指所有有限复数点，不自动包含黎曼球面的无穷远点。

实变量函数在整条实轴上光滑，并不能保证它的复表达式是整函数。例如 $1/(1+x^2)$ 对每个实数都有定义，但 $1/(1+z^2)$ 在 $i,-i$ 有极点，因而不是整函数。

任意中心的泰勒级数

整函数在任意 $a\in ℂ$ 附近有泰勒展开，而且这个展开的收敛半径为无穷： $$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a{)}^n.$$ 可以直接从柯西积分公式看出全局性。固定任意目标点 $z$，选一个以 $a$ 为中心、半径 $R>|z-a|$ 的圆。整函数在该圆及其内部全纯。在圆周上， $$\frac{1}{\zeta -z}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(z-a{)}^n}{(\zeta -a{)}^{n+1}}.$$ 几何比值的模为 $|z-a|/R<1$，故一致收敛，可逐项积分。各项系数由导数形式的柯西公式确定，得到上述泰勒级数。目标点可以任意远，只需另取更大的圆；系数始终是同一组导数，所以一个展开覆盖整个平面。

反过来，收敛半径无穷的幂级数在每个紧圆盘上一致收敛，导数级数也在较小圆盘上一致收敛，由逐项求导定理定义一个整函数。不能只验证实数取值处的数项收敛，就略去对复数和局部一致收敛的检查。

余弦在实轴与虚轴上的差别

由指数的幂级数定义 $$\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}.$$ 指数是整函数，线性组合仍为整函数。将两个级数相加，奇数幂相消，得到 $$\cos z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{z}^{2n}}{(2n)!}.$$ 对每个复数 $z$，相邻非零项的模之比趋于零，因此收敛半径确为无穷。

在实轴，$|\cos x|\le 1$。但若令 $z=iy$，则 $$\cos (iy)=\frac{e^{-y}+e^y}{2}=\cosh y.$$ 随着 $|y|$ 增大，函数沿虚轴指数增长。例如 $$\cos i=\cosh 1\approx \mathrm{1.543081.}$$ 从幂级数核对也很直接：$(iy{)}^{2n}=(-1{)}^n{y}^{2n}$，使原来交错的符号全部变正，得到 $1+y^2/2!+y^4/4!+\cdots$。

同一个整函数在两条轴上的截面。横轴是实参数t，两条曲线分别表示模cos t与cosh t，并不是复函数的完整三维图像。

增长、零点与可计算的变式

变式。 对 $g(z)=\cos (2z)$，展开为 $$g(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{2}^{2n}{z}^{2n}}{(2n)!}.$$ 所以 $g^{″}(0)=-4$、$g^{(4)}(0)=16$，而 $g(i)=\cosh 2\approx 3.762196$。泰勒系数是导数除以阶乘，例如四次项系数是 $16/24=2/3$，不可直接写成十六。

若整函数在整个复平面有统一常数上界，刘维尔定理（复分析）保证它只能是常数。实轴有界的余弦并不满足这个前提。更一般地，若模的增长不超过固定次数的多项式，柯西估计会迫使足够高阶的导数为零，因此函数本身就是多项式。

整函数的零点可以无穷多，但非零整函数的零点不能在有限平面内聚集。例如 $\sin z$ 的零点为整数倍的 $\pi$，只在无穷远处聚集；这与局部泰勒展开中第一个非零系数使零点孤立的结论相容。只有恒为零的函数才会在一个区域内处处为零。

参考文献

Jiří Lebl，Guide to Cultivating Complex Analysis，1.9，2026-07-11，§2.3—2.4（幂级数与解析性），§3.3.1、§3.3.4（全局展开与整函数）。