分位数变换

分位数变换通过一个均匀随机变量生成指定分布。即使目标分布有点质量或其分布函数有平台，使用广义分位数仍能定义变换。

广义分位数

设 $F$ 为实值概率分布的累积分布函数，对 $0<u<1$ 定义 $$Q(u)=inf\{x\in ℝ:F(x)\ge u\}.$$ 集合非空且向左有界，因此下确界有限。这个定义寻找累计概率首次达到指定水平的位置。

对任意实数 $x$ 和 $0<u<1$，关键等价关系为 $$Q(u)\le x⟺u\le F(x).$$ 若右边成立，$x$ 已属于取下确界的集合，因此左边成立。反过来，若 $Q(u)\le x$，由下确界定义可取集合中递减趋近 $Q(u)$ 的点。分布函数右连续，故 $F(Q(u))\ge u$；单调性再给出 $F(x)\ge u$。

定理。 若 $U\sim \mathrm{Unif}(0,1)$，则 $Q(U)$ 的分布函数是 $F$。

证明。 对任意实数 $x$，上述等价关系和均匀分布的定义给出 $$P(Q(U)\le x)=P(U\le F(x))=F(x).$$ 等式对所有 $x$ 成立，因而确定了目标分布。$U=0$ 和 $U=1$ 的概率均为零，故只在开区间定义 $Q$ 已足够。

带点质量的例子

考虑如下混合分布：在零点放质量 $1/4$，以质量 $1/4$ 均匀分布在 $[1,2]$，在三点放质量 $1/2$。其广义分位数是 $$Q(u)=\{\begin{array}{cc}0,& 0<u\le 1/4,\\ 4u,& 1/4<u\le 1/2,\\ 3,& 1/2<u<1.\end{array}$$ 例如 $U=1/8,3/8,3/4$ 分别给出 $0,3/2,3$。输入区间 $(0,1/4]$ 的长度为 $1/4$，所以零点恰好得到 $1/4$ 的概率。输入区间 $(1/2,1)$ 长度为 $1/2$，对应三点的质量。

水平段把一段均匀输入映到同一输出。跳跃和开闭端点由广义下确界决定。

在 $u=1/4$ 处，下确界已经在零达到；对紧接着更大的输入，需要进入 $[1,2]$，因此函数跳到一附近。在 $u=1/2$ 处取值为二，超过这个水平则取三。单个输入点的端点归属对均匀随机变量的分布无影响，但精确定义分位数时仍应写明。

连续例与计算

若目标分布在 $x\ge 0$ 上满足 $F(x)=1-e^{-2x}$，则解 $u=1-e^{-2x}$ 得 $$Q(u)=-\frac{1}{2}\log (1-u),0<u<1.$$ 例如 $u=1-e^{-2}$ 对应 $x=1$。将均匀随机数代入这个公式，就得到该指数分布的样本。对于离散或混合分布，使用广义分位数处理跳跃。反方向的概率积分变换还要求分布函数连续。