概率积分变换

概率积分变换把具有连续分布函数的实值随机变量 $X$ 映为 $F(X)$。其中 $F(x)=P(X\le x)$ 是 $X$ 的累积分布函数。变换后的随机变量服从零到一的均匀分布。这使不同单位和不同量纲的数据可以通过其分位位置比较。

平方分布的例子

设随机变量 $X$ 在 $(0,1)$ 上的密度为 $f(x)=2x$，其余位置为零。积分得到 $$F(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x\le 0,\\ x^2,& 0<x<1,\\ 1,& x\ge 1.\end{array}$$ 例如 $X=1/2$ 对应的累计概率为 $1/4$。若记 $U=F(X)=X^2$，则对 $0<u<1$， $$P(U\le u)=P(X\le \sqrt{u})=F(\sqrt{u})=u.$$ 这个分布函数正是单位区间上的均匀分布函数。于是 $P(U\le 1/4)=1/4$，与直接计算 $P(X\le 1/2)=1/4$ 一致。

沿曲线从输入二分之一读到累计概率四分之一。

定理与证明

定理。 若实值随机变量 $X$ 的分布函数 $F$ 在实线上连续，则 $F(X)$ 服从 $\mathrm{Unif}(0,1)$。连续性允许 $F$ 在区间上保持不变，无须假设它严格递增。

证明。 对 $0<u<1$，令 $Q(u)=inf\{x:F(x)\ge u\}$。分布函数在两端分别趋于零和一，故该下确界有限。右连续性给出 $F(Q(u))\ge u$；若 $x<Q(u)$，则 $F(x)<u$。由连续性令 $x\uparrow Q(u)$，得到 $F(Q(u))\le u$。因此 $F(Q(u))=u$。

令 $V$ 服从单位均匀分布。由分位数变换，$Q(V)$ 的分布与 $X$ 相同。可测函数作用于同分布随机变量后仍同分布，所以 $F(X)$ 与 $F(Q(V))=V$ 同分布。这完成证明。

平台与跳跃

设 $X$ 以相同概率在区间 $[0,1]$ 与 $[2,3]$ 上均匀取值。它的分布函数在 $[1,2]$ 恒为 $1/2$。这个平台内没有概率质量，$F(X)$ 仍是均匀分布；平台上有多个输入对应同一值，并不妨碍上面的证明。

若有点质量，连续条件就会失效。例如 $P(X=0)=1/3$、$P(X=2)=2/3$ 时，$F(X)$ 只取 $1/3$ 和 $1$，概率分别为 $1/3$ 和 $2/3$。它不能是连续均匀分布。判断变换前应先检查分布函数是否存在跳跃。