切赫复形

切赫复形（Čech complex）用一组集合的共同交集记录连接关系。对欧氏空间中的有限点云，先在每个点周围放置同半径球，再把具有非空共同交集的一组球所对应的顶点组成一个单形。随着半径增大，复形逐渐增加顶点之间的边、面及更高维单形。

三个球两两相交，未必存在一个同时落在三个球内的点。这一区别决定了三条边之间应不应该填入三角面，也是切赫复形与维托里斯里普斯复形的主要区别。

球的交集与单形

设点集 $P=\{p_1,\dots ,p_n\}\subset {ℝ}^d$，半径 $r\ge 0$，闭球定义为 $$\bar{B}(p_i,r)=\{x\in {ℝ}^d:\Vert x-p_i{\Vert }_2\le r\}.$$ 本文采用球半径参数，切赫复形为 $${\mathrm{Cech}}_r(P)=\{\varnothing \ne \sigma \subseteq P:\bigcap _{p\in \sigma }\bar{B}(p,r)\ne \varnothing \}.$$ 若某组球有共同交点，它的任意子组也有同一个交点，所以该定义满足单纯复形的向下封闭条件。两个球相交时加入边；三个球有共同交点时加入一个二维面；高维情形遵循相同规则。本文用闭球，因此恰在临界半径达到交点时就加入相应单形。

对非空有限集合 $\sigma$，定义最小包围球半径 $$\rho (\sigma )=\underset{x\in {ℝ}^d}{min}\underset{p\in \sigma }{max}\Vert x-p{\Vert }_2.$$ 最大距离函数连续且在无穷远趋于无穷，因此最小值能够取得。一个点同时落在全部半径 $r$ 的球中，当且仅当它到这些球心的距离都不超过 $r$。故 $$\sigma \in {\mathrm{Cech}}_r(P)⟺\rho (\sigma )\le r.$$ 共同交点可以看作包围球的球心；它不要求是输入点之一。GUDHI的切赫复形文档也采用最小包围球半径过滤。

等边三角形的两次变化

取三个点 $$\begin{array}{cc}A& =(-1,0),B=(1,0),\\ C& =(0,\sqrt{3}).\end{array}$$ 每两点距离为二。两球相交的必要条件来自三角不等式： $$2=\Vert A-B\Vert \le \Vert A-x\Vert +\Vert x-B\Vert \le 2r.$$ 反过来，$r\ge 1$ 时两点中点位于两球内。因此三条边都在 $r=1$ 出现。

三个球的共同交集则要等到更大的半径。令重心 $O=(0,\sqrt{3}/3)$。对任意点 $x$，展开平方并利用 $A+B+C=3O$ 可得 $$\begin{array}{cc}& \Vert x-A{\Vert }^2+\Vert x-B{\Vert }^2+\Vert x-C{\Vert }^2\\ & =3\Vert x-O{\Vert }^2+4.\end{array}$$ 如果三项都不超过 $r^2$，则 $3r^2\ge 4$，即 $r\ge 2/\sqrt{3}$。在 $x=O$ 时三项都等于 $4/3$，所以下界可取到。这就证明了共同交集首次出现的半径为 $$r_{\ast }=\frac{2}{\sqrt{3}}\approx \mathrm{1.1547.}$$

半径1.05介于两次临界值之间。圆盘展示覆盖，金色线展示对应复形的边；它们表达不同对象。

因此，当 $1\le r<2/\sqrt{3}$ 时，复形连成一个三边圈，却没有填面；其一维贝蒂数为一。达到 $r_{\ast }$ 后加入 $ABC$，这一同调类变为边界。

半径1.2时重心已在三个圆盘中。填色三角面表示加入的二维单形，不表示三圆盘共同交集的准确形状。

在相同三个点上，若把球半径从 $1.05$ 改为 $0.9$，任意两球都分开，复形只有三个孤立顶点，零维贝蒂数为三。这一变式检查的是球半径与球心距离的二倍关系，而不是重新计算三角形面积。

从覆盖恢复拓扑的条件

集合族的神经以集合为顶点，以共同交集非空的子族为单形。切赫复形正是上述球族的神经。有限个欧氏闭球都是凸集，每个非空有限交集也凸，因而可缩。适用于有限闭凸集族的神经定理给出：神经的几何实现与这些球的并集具有相同的同伦型，因此也具有相同的同调。这里引用神经定理，不以圆盘图代替它的一般证明。

有限闭凸覆盖版本的神经同伦定理可见Bauer等的定理3.1和3.9。这个结论对应的是球并集。它没有单凭有限点云就证明某个未知物体的真实拓扑。若点云稀疏、离群点较多，或半径太大使本来分离的区域粘连，球并集本身就可能偏离研究对象。将结论推广到任意非凸覆盖也不成立：共同交集可能不连通、不可缩，神经不再保留相同的拓扑。

半径满足 $r\le s$ 时，球和共同交集只能扩大，故 $${\mathrm{Cech}}_r(P)\subseteq {\mathrm{Cech}}_s(P).$$ 于是可以通过持久同调研究不同半径间哪些类持续存在。主例的一维区间为 $[1,2/\sqrt{3})$，以本文闭球约定计算。

与里普斯复形及数值实现的关系

令 ${\mathrm{Rips}}_{\epsilon }(P)$ 以两两距离不超过 $\epsilon$ 为加入单形的条件。则 $${\mathrm{Cech}}_r(P)\subseteq {\mathrm{Rips}}_{2r}(P)\subseteq {\mathrm{Cech}}_{2r}(P).$$ 证明。 共同点 $x$ 到各球心距离不超过 $r$，所以任意两球心距离不超过 $2r$，得到第一包含。对第二包含，任取单形中一个顶点 $p$；它到全部顶点的距离都不超过 $2r$，所以它就是全部半径 $2r$ 球的共同点。空单形在本文定义中省略。两个包含通常不都是等号。

切赫复形要求高阶共同交集，不能只把邻接图中的所有团直接填满。计算时还需区分全切赫复形与较小的Delaunay–Čech复形，以及半径 $r$ 与平方半径 $r^2$。例如主例三角面的平方半径为 $4/3$，不是它的半径 $2/\sqrt{3}$。浮点计算若恰好接近临界值，应报告容差或采用合适的精确判定，不能把舍入后的小区间直接解释为实际结构。