持久同调

持久同调（persistent homology）研究一组逐步扩大的空间中，同调类在什么参数值出现、经过哪些变化后仍存在，以及在什么参数值成为边界。它同时保留每个阶段的同调和阶段之间的映射，因而比逐个记录贝蒂数更能说明多尺度结构的变化。

参数可以是点云连边的距离阈值、球的半径，也可以是给定函数的阈值。它不一定表示物理时间。下文使用有限单纯复形、二元域系数 ${𝔽}_2$ 与普通同调；零维连通分量不会因为采用约化同调而少计一个。

一个圈从形成到填平

取顶点 $A,B,C$，规定各单形的进入值为 $$\begin{array}{cc}f(A)=f(B)=f(C)& =0,\\ f(AB)& =1,f(BC)=2,\\ f(CA)& =3,f(ABC)=5.\end{array}$$ 在参数 $t$ 处，保留所有 $f(\sigma )\le t$ 的单形。每个面的进入值都不晚于包含它的单形，因而任意阶段都是合法复形，且后阶段包含前阶段。

当 $t=0$ 时有三个连通分量。加入 $AB$ 后，$A$ 与 $B$ 所在分量合并；加入 $BC$ 后，第三个分量也接入。到 $t=3$，新边 $CA$ 不再减少连通分量，而是闭合循环 $$\gamma =AB+BC+CA.$$ 此时没有三角面，所以 $\gamma$ 不是二维边界。到 $t=5$，面 $ABC$ 加入，$\gamma ={\partial }_2(ABC)$，相应一维同调类变为零。

图中边不会消失。消失的是一个非零同调类：面加入后，同样三条边的和已代表零类。

因此，一维类的生存区间为 $[3,5)$，持续长度为二。闭合发生在三，填面发生在五；右端点五不包括在内，因为在 $K_5$ 中面已经存在。

这是一组人为指定的一般单纯过滤，不是三点的里普斯过滤。维托里斯里普斯复形要求三点两两连边时立即加入相应三角面，不能把填面任意推迟到五。

过滤与包含诱导的映射

设 $K$ 为有限单纯复形，函数 $f:K\to ℝ$ 满足 $$\tau \subseteq \sigma ⟹f(\tau )\le f(\sigma ).$$ 定义子水平复形 $K_t=\{\sigma \in K:f(\sigma )\le t\}$。若 $s\le t$，包含映射 $K_s\hookrightarrow K_t$ 诱导线性映射 $$i_k^{s,t}:H_k(K_s;{𝔽}_2)⟶H_k(K_t;{𝔽}_2).$$ 映射的定义是良好的。 $K_s$ 中边界为零的链，在 $K_t$ 中仍具有相同边界，故仍是循环。如果两个旧循环相差 ${\partial }_{k+1}c$，链 $c$ 仍属于新复形，所以它们在新同调中也代表同一类。于是“把同一个循环放入较大复形”与代表元的选择无关。

这些映射满足 $$\begin{array}{cc}{i}_k^{t,t}& =\mathrm{id},\\ i_k^{t,u}\circ i_k^{s,t}& =i_k^{s,u}(s\le t\le u).\end{array}$$ 固定维数后，这组向量空间及相容映射构成一个一参数持久模。有限过滤及包含诱导映射是持久同调的基本对象。

从 $s$ 持续到 $t$ 的同调定义为映射的像： $$H_k^{s,t}=\mathrm{im}{i}_k^{s,t},{\beta }_k^{s,t}=\dim H_k^{s,t}.$$ 它统计的是在早期已经出现、到后期仍保留的独立类，不把后期才新生的类算入。

用循环与边界空间还能写为 $$H_k^{s,t}\cong Z_k(K_s)/(Z_k(K_s)\cap B_k(K_t)).$$ 原因是：一个旧循环在较晚阶段代表零，当且仅当它已成为 $K_t$ 中某条高一维链的边界；恰好需要除去分母中的旧循环。主例中，${\beta }_1^{3,4}=1$，但 ${\beta }_1^{3,5}=0$。

区间与条形码

对有限的一参数过滤和固定系数域，持久模可以分解成区间模：某区间 $[b,d)$ 在区间内各有一个一维向量空间，内部映射为恒等；区间外为零。无限延续的类用 $d=\mathrm{\infty }$ 表示。区间多重集称为持久条形码，它在重排之外唯一，但具体循环代表元一般不唯一。这里引用区间分解定理，不把有限例子的计算当作该结构定理的一般证明。

主例中，零维条形码为 $$[0,1),[0,2),[0,\mathrm{\infty }),$$ 一维条形码为 $[3,5)$。三个分量同生于零，第一次合并减少一个独立零维类，第二次合并再减少一个，最终留下一个。可约定保留代表 $A$，但这只是同生代表元的选择；把哪一个初始顶点称为“留下的分量”不会改变上述三个区间。

当全部区间已知时， $$\begin{array}{cc}{\beta }_k(K_t)& =\mathrm{\#}\{[b,d):b\le t<d\},\\ {\beta }_k^{s,t}& =\mathrm{\#}\{[b,d):b\le s\le t<d\}.\end{array}$$ 证明。 在一个区间模中，参数 $t$ 处的维数为一，当且仅当 $t$ 在区间内。跨参数映射的秩为一，当且仅当两端都在该区间内；否则映射从零出发或映入零。直和中的维数和秩分别相加，得到两个计数式。

同样的贝蒂曲线可以对应不同持久性

考虑从参数零起都具有一个一维类的两种过滤。第一种中，同一个圈一直没有填面，跨越参数一的映射是恒等。第二种中，在参数一填满旧圈，同时在另一处闭合一个新圈。该阶段前后一维贝蒂数也都是一，但旧类映入零，新类并非来自旧复形，所以跨越参数一的映射为零。

第一种的一维条形码是 $[0,\mathrm{\infty })$；第二种则是 $[0,1)$ 与 $[1,\mathrm{\infty })$。两者在每个阶段的一维贝蒂数相同，而跨阶段的秩不同。持久同调保留映射，正是为了区分这类替换。

作为主例的变式，若将三角面进入值从五改为三，则 $\gamma$ 在刚闭合时已同时成为边界，不产生正长度一维区间。逐个单形处理时可暂时产生一个长度为零的配对，但它不表示任何参数范围内存在的一维类。相同进入值时，计算顺序必须让面先于包含它的单形；这种合法排序不改变正长度条形码。

尺度、稳定性与解释

条形码可转为按维数区分的持久图，便于比较出生、死亡与持续长度。长区间表示在所选过滤参数下持续较久，不自动证明它对应重要物理结构；短区间也可能具有实际意义。若对本例的非负参数使用严格递增变换 $t\mapsto t^2$，区间端点及长度都会改变，所以应报告构造方式、参数单位、系数域和截断维数。

对于点云，切赫复形采用球半径，里普斯复形在本文采用边长阈值，两者的数值不能直接当作同一尺度。采样不足、观测误差、过滤选择与数值容差分别会影响结果。稳定性定理在相应条件下控制输入扰动与持久图距离；它不是“长条必真、短条必假”的判定规则。