维托里斯里普斯复形

维托里斯里普斯复形（Vietoris–Rips complex，常简称里普斯复形）由有限度量点集中的两两距离建立。给定距离阈值，先连接距离足够近的点，再把邻接图中的每个完全子图填成相应维数的单形。它只需要距离信息，因而适合点云、距离矩阵与持久同调计算。

三点两两相连便会填成三角面，四点两两相连便会填成一个三维单形。只画出满图的六条边，或只加入它的四个三角面，都还没有构造完整的四点里普斯复形。

距离阈值与旗复形

设 $(P,d)$ 是有限度量空间，$\epsilon \ge 0$。本文使用边长阈值，并包括临界等号： $$\begin{array}{cc}{\mathrm{Rips}}_{\epsilon }(P)=\{\varnothing \ne \sigma \subseteq P:& d(p,q)\le \epsilon \\ & \text{对所有 }p,q\in \sigma \}.\end{array}$$ 任意子集仍满足相同距离限制，因此这是单纯复形。邻接图中一个有 $k+1$ 个顶点的团对应一个 $k$ 维单形；由图的全部团构造的复形称为旗复形或团复形。单形的进入值为 $$f(\sigma )=\underset{p,q\in \sigma }{max}d(p,q),$$ 单顶点的值约定为零。阈值增大时复形只会增加，形成嵌套过滤。GUDHI采用直径或最大边长作为过滤值，同时提醒有些文献将同一参数记为半个边长。比较结果前应先统一尺度。

如果距离矩阵来自观测，应先检查对称性、零对角线与度量假设。任意对称的非负不相似度也能按相同团规则生成过滤，但涉及度量空间的稳定性或几何解释时，不能自动沿用尚未满足的假设。图构造本身与数据是否具有所声明的几何意义是两件事。

正方形点云的完整计算

取平面上四个点 $$\begin{array}{cccc}A& =(-1,-1),& B& =(1,-1),\\ C& =(1,1),& D& =(-1,1).\end{array}$$ 相邻点距离为二，对角点距离为 $2\sqrt{2}$。

当 $0\le \epsilon <2$ 时，没有边，故 ${\beta }_0=4$。当 $$2\le \epsilon <2\sqrt{2}$$ 时只有四条周边边，没有三点完全子图，因此没有三角面。图连通，并有 $m-n+1=4-4+1=1$ 个独立循环，所以 $({\beta }_0,{\beta }_1)=(1,1)$。

图中阈值为2.3。周边距离为二，虚线标出的对角线距离为二倍根号二，尚未成为复形的边。虚线交点不是新增顶点。

达到 $\epsilon =2\sqrt{2}$ 时，全部六条边同时存在。四点成为一个团，必须加入四个三角面以及四面体本身。完整复形是一个实心三维单形，可缩，普通贝蒂数为 $(1,0,0,0)$。

也可直接用边界秩公式核验。其各维单形数为 $(n_0,n_1,n_2,n_3)=(4,6,4,1)$，在 ${𝔽}_2$ 上， $$\begin{array}{cc}\mathrm{rank}{\partial }_1& =3,\\ \mathrm{rank}{\partial }_2& =3,\\ \mathrm{rank}{\partial }_3& =1.\end{array}$$ 第一式由图连通性得到。四个面的边界之和为零，其中任取三个独立：每个面有一条未出现在另外两个所选面中的边，逐列检查可得独立性。三维单形的边界是四个面之和，非零，故第三式成立。于是 $$\begin{array}{cc}{\beta }_1& =6-3-3=0,\\ {\beta }_2& =4-3-1=0,\\ {\beta }_3& =1-1=0.\end{array}$$

这是抽象三维单形的投影示意。三维内部也在复形中；二维画面的前后遮挡不改变抽象面关系。

这个点云的一维条形区间因此为 $[2,2\sqrt{2})$，寿命为 $2\sqrt{2}-2$。如果只截取到二维，四个三角面围成的二维循环没有三维边界可抵消，计算将得到 ${\beta }_2=1$；那是截断复形的结果，不是完整里普斯复形的结果。一般要正确计算 $H_k$，需保留至少到 $k+1$ 维，因为 ${\partial }_{k+1}$ 也参与同调定义。

两两接近与共同交点

切赫复形要求一组球有共同交点，而里普斯复形只检查球心之间的两两距离。取边长二的等边三角形，本文里普斯阈值 $\epsilon =2$ 时三边齐全，三角面立即加入；半径为一的三个闭球却没有共同交点，相应切赫复形仍只是三边圈。

在欧氏空间中，两者满足 $${\mathrm{Cech}}_{\epsilon /2}(P)\subseteq {\mathrm{Rips}}_{\epsilon }(P)\subseteq {\mathrm{Cech}}_{\epsilon }(P).$$ 第一包含由共同点及三角不等式得到；第二包含可取单形中任一顶点作为半径 $\epsilon$ 球族的共同点。因此两者能从不同尺度夹住彼此，但同一数值参数下不能混用球半径与最大边长。

可复算的小规模构造

下面的实现枚举所有非空顶点子集，用欧氏距离判定每对点是否通过阈值。输入为有限二维点列及非负有限阈值，输出各维单形的顶点编号元组，不改写输入。重复坐标按不同编号保留，距离为零；若研究对象要求去重后的点集，可先去重。它适合核对小例子，限制点数不超过十六；没有加入人为容差，临界等号应结合浮点误差解释。

Python 3

from itertools import combinations
from math import hypot, isfinite

def rips_simplices(points, epsilon):
    points = tuple(tuple(p) for p in points)
    if len(points) > 16 or not isfinite(epsilon) or epsilon < 0:
        raise ValueError("require at most 16 points and finite epsilon >= 0")
    if any(len(p) != 2 or not all(isfinite(v) for v in p)
           for p in points):
        raise ValueError("require finite two-dimensional points")
    edges = set()
    for i, j in combinations(range(len(points)), 2):
        dx = points[i][0] - points[j][0]
        dy = points[i][1] - points[j][1]
        if hypot(dx, dy) <= epsilon:
            edges.add((i, j))
    return [
        s for size in range(1, len(points) + 1)
        for s in combinations(range(len(points)), size)
        if all(pair in edges for pair in combinations(s, 2))
    ]

square = [(-1, -1), (1, -1), (1, 1), (-1, 1)]
for eps in (1.5, 2.3, 2.9):
    simplices = rips_simplices(square, eps)
    counts = [sum(len(s) == k + 1 for s in simplices)
              for k in range(4)]
    print(eps, counts)
# 1.5 [4, 0, 0, 0]
# 2.3 [4, 4, 0, 0]
# 2.9 [4, 6, 4, 1]
assert rips_simplices([], 1) == []

正确性。 一个候选集合被保留，当且仅当它的每个二元子集都在邻接边集中，正好是定义中的两两距离条件。枚举覆盖每个非空顶点子集且没有重复，因此输出既不缺单形，也不多添单形。对子集的二元检查同样保证面包含在输出中。

预计算边需要 $O(n^2)$ 次距离计算；最坏情况下枚举检查耗时 $O(n^2{2}^n)$，全部输出需要 $O(n{2}^n)$ 个顶点编号的存储。十六点上限只是这个教学实现的操作限制，不是理论边界。实际实现常按团扩张、限制所需维数或使用有理论保证的稀疏化；必须报告这些选择，不能仅凭软件输出较小就认为得到同一个完整复形。