贝蒂数

贝蒂数（Betti number）把空间的连通分量、独立环路及更高维的同调特征表示为整数。它数的是线性独立的同调类，不是图上所有能画出的闭合路线。通常不注明系数时，贝蒂数指有理同调的维数，等价于整数同调群的自由秩；计算拓扑也常先固定一个系数域，再讨论相应的带系数贝蒂数。

下文以有限单纯复形为对象，计算例子固定采用二元域 ${𝔽}_2=\{0,1\}$，其中 $1+1=0$。读者将从三条边围成的圈开始，算出填入三角面前后的变化，再把这种计算写成边界矩阵的秩公式。

三条边与一个三角面

取三个顶点 $A,B,C$，连接三条边，但不放入三角形内部。可以沿三边绕行一周；把相同的边走两次，在模二加法下抵消。记边的形式和为 $$z=AB+BC+CA.$$ 它没有留下端点：每个顶点都出现两次。因此 $z$ 是一个一维循环。这里只有一个独立的一维循环，故 ${\beta }_1=1$。整个图连在一起，故 ${\beta }_0=1$。

三条边的和没有边界。这里没有二维面，不能把这个循环写成某个二维链的边界。

现在把三角面 $ABC$ 也放入。相同的循环满足 $z={\partial }_2(ABC)$，成为一个面的边界。它作为循环仍存在，但在同调中代表零，故 ${\beta }_1=0$。连通分量没有改变，${\beta }_0$ 仍为一。

填面改变了可用的二维链，原来的循环因而成为边界。仅看顶点和边的连接表不能发现这一变化。

从循环到同调类

有限单纯复形 $K$ 是一族非空有限顶点集合，并满足向下封闭：若 $\sigma \in K$，则它的每个非空子集也在 $K$ 中。一个有 $k+1$ 个顶点的单形维数为 $k$；点、边、三角面分别是零、一、二维单形。这个定义允许我们明确区分“三条边”与“一个面连同它的各条边”。

固定系数域 $𝔽$。令 $C_k(K;𝔽)$ 为以全部 $k$ 维单形为基的向量空间，其元素叫作 $k$ 维链。选定顶点次序后，边界映射为 $${\partial }_k[v_0,\dots ,v_k]=\sum _{i=0}^k(-1{)}^i[v_0,\dots ,{\hat{v}}_i,\dots ,v_k].$$ 帽号表示删去该顶点。本文算例在 ${𝔽}_2$ 上计算，正负号相同；一般系数域则应保留方向符号。普通同调采用 ${\partial }_0=0$，不在零维增加约化同调的增广映射。

边界的边界为零。 对一个单形连续删去两个不同顶点，每个所得面恰有两种删除次序。在一般系数域中两项符号相反，在 ${𝔽}_2$ 中两项相同而相加为零，所以 $${\partial }_k{\partial }_{k+1}=0.$$ 因此边界空间 $B_k=\mathrm{im}{\partial }_{k+1}$ 包含于循环空间 $Z_k=\ker {\partial }_k$。同调把相差一个边界的循环视为同一类： $$\begin{array}{cc}{H}_k(K;𝔽)& =Z_k/B_k,\\ {\beta }_k(K;𝔽)& ={\dim }_{𝔽}{H}_k(K;𝔽).\end{array}$$ 这个商空间解释了填面的作用：它增加可被视为零的循环，而不只是删除某条路线。单纯同调、边界关系及系数的系统定义见Hatcher的教材。

边界矩阵的秩公式

记 $n_k$ 为 $k$ 维单形数，$r_k={\mathrm{rank}}_{𝔽}{\partial }_k$。由秩—零化度定理， $$\dim Z_k=n_k-r_k.$$ 又因 $B_k\subseteq Z_k$，商空间的维数是两者维数之差，得到 $${\beta }_k=n_k-r_k-r_{k+1}.$$ 两项被减去的量含义不同：$r_k$ 排除有非零边界的链，$r_{k+1}$ 再把本身就是高一维边界的循环扣除。

主例中，按行 $A,B,C$、列 $AB,BC,CA$ 排列， $$D_1=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right).$$ 三列之和为零，前两列独立，故秩为二。未填面时 $n_1=3,r_2=0$，所以 ${\beta }_1=3-2=1$。填面后， $$D_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right),{\beta }_1=3-2-1=0.$$ 此外 ${\beta }_2=1-1=0$：一个实心三角面不是一个封闭二维壳层。

图、独立环路与欧拉示性数

对只有顶点和边的有限无向图，设顶点数为 $n$、边数为 $m$、连通分量数为 $c$。每个连通分量的生成树有“顶点数减一”条边，其边界列独立；该分量其余边的端点差可由树路径的边界表示。因此 $r_1=n-c$，从而 $${\beta }_0=c,{\beta }_1=m-n+c.$$ 例如两份互不连接的三边圈有 $n=6,m=6,c=2$，故 $({\beta }_0,{\beta }_1)=(2,2)$。再用一条边连接它们，变为 $n=6,m=7,c=1$，结果为 $(1,2)$：连接分量减少了一个，独立环路数不变。若改为填满其中一份三角面，则 $r_2=1$，一维贝蒂数降为一。带面的复形不能直接套用没有 $r_2$ 的图公式。

有限复形还满足欧拉—庞加莱关系 $$\chi (K)=\sum _k(-1{)}^k{n}_k=\sum _k(-1{)}^k{\beta }_k.$$ 证明。 将秩公式代入右端；$r_k$ 在相邻两项中的系数相反，逐项抵消。因复形有限、$r_0=0$ 且最高维之上的边界秩为零，没有剩余端项。于是只留下左端的交错单形数。这个关系适合复核，但一个交错和不能反推出全部贝蒂数。

系数与建模边界

不同系数域可能得到不同结果。以实射影平面为例，其标准胞腔分解每个零、一、二维各有一个胞腔；二维胞腔的附着边界绕一维胞腔两周，整数链边界是乘二。在有理数上该映射秩为一，在 ${𝔽}_2$ 上却为零，因而相应贝蒂数依次为 $(1,0,0)$ 与 $(1,1,1)$。这里使用的是胞腔同调计算，相关附着模型与同调等价性见Hatcher §2.2。系数选择应与报告一起给出。

贝蒂数也不是空间的完整分类：连通分量的形状、环路的几何长度及许多更精细结构都未被这些维数保留。点云的计算还依赖怎样连边、怎样填面以及所选尺度。切赫复形与维托里斯里普斯复形给出两种构造方式，持久同调则把不同尺度间的映射也纳入比较。