割线切线定理的逆命题

圆外点 $P$ 引割线，依次交圆于近点 $A$ 、远点 $B$ ；另取圆周点 $T$ 。如果 $P T^{2} = P A \cdot P B,$ 那么 $P T$ 必是圆在 $T$ 处的切线。这是《几何原本》第三卷命题 37，是割线切线定理的逆命题。

等式如何推出垂直

设圆心 $O$ 、半径 $R$ 。由割线一侧已证的距离恒等式， $P A \cdot P B = O P^{2} - R^{2} .$ 把题设代入，并用 $O T = R$ ，得 $O P^{2} = P T^{2} + O T^{2} .$ 在三角形 $O P T$ 中，勾股定理的逆定理给出 $∠ O T P = 9 0^{\circ}$ 。半径 $O T$ 垂直于 $P T$ ，所以切线与半径垂直的逆向结论说明 $P T$ 是切线。证明没有假定 $P T$ 原本就只交圆一次。

例如半径 3、 $O P = 5$ 时，任何圆周点 $T$ 若满足 $P T = 4$ ，便是从 $P$ 所见的一个切点；过圆心的割线给 $P A = 2, P B = 8$ ，正好验证 $4^{2} = 2 \cdot 8$ 。仅知道某条从 $P$ 出发的线段长 4、却不知道终点 $T$ 在圆上，还不能谈它是圆的切线。

参考资料