勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理说：若一个三角形三边为正数 $a,b,c$，$c$ 是最长边，并满足 $a^2+b^2=c^2$，则 $a,b$ 之间的夹角是直角。原定理从直角推出平方关系；逆定理从平方关系判定直角，两者需要分别证明。

用作图与全等证明

取一条长 $a$ 的线段，与它垂直作一条长 $b$ 的线段，形成一个直角三角形。由勾股定理，它的斜边长是 $\sqrt{a^2+b^2}=c$。新作的三角形与题设三角形三边对应相等，由三角形全等的边边边判据可知对应角相等。因此题设中 $a,b$ 之间的角也必须是直角。辅助作图的目的，是造出一个已知为直角且三边与原三角形相同的对象。

例如边长 $5,12,13$ 满足 $5^2+12^2=25+144=169=13^2$，故以5与12为邻边的夹角是直角。工程现场可用这个关系检验一个拐角，但测量有误差时只能判断“接近直角”，不能从近似等号推出数学上的严格直角。

先找最长边

检验边长 $2,3,4$ 时，最长边是4，而 $2^2+3^2=13\ne 16$，所以不是直角三角形。不能任意挑一边当“斜边”来套公式。三数还要满足三角形不等式，才真能构成三角形；例如 $1,2,3$ 不构成非退化三角形，谈其夹角没有意义。

逆定理也可用余弦定理核对：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$，若平方关系成立且 $ab>0$，便有 $\cos C=0$，即 $C=90^{\circ }$。这条短证明依赖更晚的定理，而上面的作图证明只使用勾股定理与全等。

参考资料

• D. Joyce《几何原本》第一卷命题48：勾股逆定理。
• D. Joyce《几何原本》第一卷命题47：勾股定理本身。