博雷尔－坎泰利引理

博雷尔－坎泰利引理研究一列事件中有多少事件会发生。它把“概率之和是否收敛”与“事件是否无穷多次发生”联系起来，是证明几乎处处收敛和分析随机试验的常用工具。

无穷多次发生

对事件序列 $A_1,A_2,\dots$，记 $$\begin{array}{cc}\{A_n\text{ 无穷多次发生}\}& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; sup}{A}_n\\ & =\bigcap _{m\ge 1}\bigcup _{n\ge m}{A}_n.\end{array}$$ 这表示不论从第几项开始看，总能在以后找到发生的事件。它的补事件是“至多有限次发生”。

第一引理

定理。 如果 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}P(A_n)<\mathrm{\infty }$，那么 $P(A_n\text{ 无穷多次发生})=0$。此结论不需要独立性。

证明。 对任意 $m$，无穷多次发生的事件包含于 $\bigcup _{n\ge m}{A}_n$。由可数次可加性和并集上界， $$P(lim\; sup{A}_n)\le P\left(\bigcup _{n\ge m}{A}_n\right)\le \sum _{n\ge m}P(A_n).$$ 收敛级数的尾和随 $m\to \mathrm{\infty }$ 趋于零，故左边为零。

第二引理

定理。 若 $A_n$ 相互独立，且 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}P(A_n)=\mathrm{\infty }$，则 $P(A_n\text{ 无穷多次发生})=1$。

证明。 对固定的 $m\le N$，利用独立性及 $1-x\le e^{-x}$， $$\begin{array}{cc}P\left(\bigcap _{n=m}^N{A}_n^c\right)& =\prod _{n=m}^N(1-P(A_n))\\ & \le \exp (-\sum _{n=m}^{N}P(A_n)).\end{array}$$ 级数发散使右边随 $N\to \mathrm{\infty }$ 趋于零，因此从第 $m$ 项开始再无事件发生的概率为零。至多有限次发生意味着某个 $m$ 之后再无事件发生；对所有 $m$ 取可数并集，这个补事件的概率为零。

两个可计算的试验

设 $U_1,U_2,\dots$ 相互独立且均匀分布在 $(0,1)$。第一种试验取 $A_n=\{U_n\le 1/n^2\}$，则 $P(A_n)=1/n^2$。对 $n\ge 2$， $$\frac{1}{n^2}\le \frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}.$$ 因此全部概率之和不超过 $2$，第一引理给出这些事件几乎必然只发生有限次。

第二种试验取 $B_n=\{U_n\le 1/n\}$，则 $P(B_n)=1/n$。调和级数发散，且事件相互独立，第二引理说明 $B_n$ 几乎必然发生无穷多次。每一次试验的概率虽趋于零，两种长期结果却不同。

条件的作用

若省略第二引理的独立条件，发散本身不足以得到结论。令每个 $A_n$ 都等于同一个概率为 $1/2$ 的事件 $A$。概率之和发散，但无穷多次发生的事件恰好是 $A$，其概率为 $1/2$。独立性是上面第二引理的充分条件，不是适用其他推广版本时唯一可能的条件。

参见

• 尾σ代数