尾σ代数

给定随机变量序列 $X_1,X_2,\dots$，尾σ代数描述只凭任意靠后的变量就能够判断的信息。它用来研究“发生无穷多次”“序列是否收敛”等不由前面有限次观测决定的事件。

定义

在概率空间 $(\Omega ,ℱ,P)$ 上，记 $${𝒯}_n=\sigma (X_n,X_{n+1},\dots ),𝒯=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{𝒯}_n.$$ ${𝒯}_n$ 包含只依靠第 $n$ 项及其以后变量可以判断的事件；这些 σ 代数随 $n$ 增大而缩小。一个事件属于 $𝒯$，意味着无论事先舍去多少项，剩下的随机变量都足以判断它。交集仍是 σ 代数。

例如令 $A_n=\{X_n>0\}$。事件“$A_n$ 无穷多次发生”写作 $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; sup}{A}_n=\bigcap _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{n\ge m}{A}_n.$$ 对任意固定 $k$，上式可从 $m=k$ 开始取交，因此属于 ${𝒯}_k$。它对每个 $k$ 都成立，所以是尾事件。只出现有限次的事件是其补集，也是尾事件。

零一律

定理。 如果 $X_1,X_2,\dots$ 相互独立，那么任何 $A\in 𝒯$ 均满足 $P(A)\in \{0,1\}$；不要求随机变量同分布。

证明。 对每个 $n$，尾事件 $A$ 属于 $\sigma (X_{n+1},X_{n+2},\dots )$，因而由独立性与 σ 代数独立性的扩张，$A$ 与 $\sigma (X_1,\dots ,X_n)$ 独立。有限前缀所生成的事件构成的集合族对有限交封闭，并生成 $\sigma (X_1,X_2,\dots )$；用 π-λ 定理扩张独立性，$A$ 与整个 σ 代数独立。由于 $A$ 自身也属于该 σ 代数，它与自己独立： $$P(A)=P(A\cap A)=P(A{)}^2.$$ 解这个方程便得到所述结论。这里使用的是相互独立，仅有两两独立不能直接套用这一证明。

掷硬币的例子

独立反复掷一枚正面概率为 $1/2$ 的硬币，令 $X_n$ 为第 $n$ 次是否出现正面的指示变量。正面出现无穷多次是尾事件，所以它的概率只能是零或一。要确定是哪一个，还需额外计算：对任意 $m$，此后连续 $r$ 次都不是正面的概率为 $2^{-r}$，令 $r\to \mathrm{\infty }$ 得此后永无正面的概率为零。对所有 $m$ 取可数并集，正面仅出现有限次的概率仍为零。因此正面出现无穷多次的概率为一。

“第一次为正面”通常不是尾事件：在所有硬币结果序列组成的样本空间上，两条序列可以只在第一项不同、从第二项起完全相同，但该事件的结果不同。尾事件不受这种有限改动影响；在抽象概率空间中，严格判定仍以 σ 代数定义为准。

参见

• 博雷尔－坎泰利引理