古典解

古典解（classical solution），也称经典解，是在指定区域内具有方程所需的连续导数，并在每个点满足微分方程的函数。对于边值问题或初值问题，还须按声明的连续性与边界正则性满足附加数据。它是对解的意义与光滑程度的要求，不是指解必须能写成初等函数，也不意味着解自动存在或唯一。

以 $-u^{″}=1$、$u(0)=u(1)=0$ 为例，函数 $u=x(1-x)/2$ 在每个内部点二次可微，且 $u^{″}=-1$，两端也准确取零，因此是这个边值问题的古典解。只在网格点验证等式，或只把残差算到很小，并不等同于上述逐点要求。

区域与所需导数

对开集 $\Omega \subset {ℝ}^d$ 内的 $m$ 阶方程，常用的古典正则性要求是 $u\in C^m(\Omega )$：直到 $m$ 阶的全部偏导数存在且连续。把 $u$ 及这些导数代入方程后，等式须对每个 $x\in \Omega$ 成立。不同方程可能采用更有针对性的正则性，因此应和具体定义一起阅读。

例如，泊松方程的狄利克雷问题通常写为 $$\{\begin{array}{cc}-\Delta u=f& \text{在 }\Omega \text{ 内},\\ u=g& \text{在 }\partial \Omega \text{ 上},\end{array}$$ 其中 $\Delta u=\sum _{j=1}^d{\partial }_j^{2}u$ 是拉普拉斯算子。一个常见的古典解定义是 $$u\in C^2(\Omega )\cap C(\bar{\Omega }),$$ 并在内部逐点满足方程、在边界逐点取值 $g$。这只要求二阶导数在内部连续，没有自动要求它们延拓到边界。若附加条件规定法向导数，则须再具备相应的边界可微性。

时间和空间所需的导数也可不同。对热方程 $u_t=\kappa u_{xx}$（$\kappa >0$），内部正则性常写作 $C^{2,1}$：空间导数直到二阶、时间导数直到一阶连续。它不是要求对时间也求二阶导数的 $C^2$ 条件。若要处理初始时刻与边界，还须另外说明 $u$ 或哪些导数连续到达那些位置。

圆盘上的完整算例

设二维区域是半径为二的开圆盘 $$\Omega =\{(x,y)\in {ℝ}^2:x^2+y^2<4\},$$ 求满足 $-\Delta u=1$ 且圆周上 $u=0$ 的古典解。这是一个无量纲教学问题；可用来描述均匀源作用下、边界保持零值的理想稳态场。

圆形边界及常量源项提示寻找只依赖 $x^2+y^2$ 的二次函数。这是一种构造候选解的方法，尚未证明所有解都具有该形式。 设 $$u(x,y)=A+B(x^2+y^2).$$ 它满足 $u_{xx}=2B$、$u_{yy}=2B$，所以方程要求 $-4B=1$，即 $B=-1/4$。边界上 $x^2+y^2=4$，于是 $A+4B=0$，得到 $A=1$。候选解为 $$u(x,y)=1-\frac{x^2+y^2}{4}.$$

它是多项式，因而正则性足够；逐项代回得到 $$\begin{array}{cc}{u}_{xx}& =-\frac{1}{2},u_{yy}=-\frac{1}{2},\\ -\Delta u& =-(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2})=1.\end{array}$$ 圆周上 $u=1-4/4=0$，所以已经验证了它是古典解。圆心值为 $u(0,0)=1$，而 $u(1,1)=1/2$。若令 $u=c$，其等值线满足 $$x^2+y^2=4(1-c).$$ 因此值为 $3/4,1/2,1/4$ 的等值线半径依次为 $1,\sqrt{2},\sqrt{3}$，与下图的同心圆对应。

外圆是 u=0 的边界。越靠近圆心，u 值越大；点 P=(1,1) 位于 u=1/2 的圆上。

固定 $y=1$，相当于沿一条水平直线读取这个二维场。在圆盘中的部分满足 $|x|<\sqrt{3}$，截面函数是 $$u(x,1)=\frac{3}{4}-\frac{x^2}{4}.$$ 图中 $x=\pm \sqrt{3}$ 是这条直线与圆周的交点，那里 $u=0$；$x=1$ 处仍得到 $u=1/2$。等值图展示“哪些位置取同一值”，截面图展示“沿选定方向，值怎样变化”，两图描述同一个函数。

截面 y=1 的图像。曲线顶点值为 3/4，不是整个圆盘的最大值1，因为这条截线没有经过圆心。

圆盘问题的唯一性证明

构造出一个解，还不能排除其他非二次形式的解。设 $u_1,u_2\in C^2(\Omega )\cap C(\bar{\Omega })$ 都解上述圆盘问题，令 $w=u_1-u_2$，则 $$\Delta w=0\text{在 }\Omega \text{ 内},w=0\text{在 }\partial \Omega \text{ 上}.$$ 任取 $\epsilon >0$，构造 $$v_{\epsilon }(x,y)=w(x,y)+\epsilon (x^2+y^2).$$ 由于 $\Delta v_{\epsilon }=4\epsilon >0$，它不可能在内部取得局部最大值：若在内部最大点处二次可微，则沿两个坐标方向的二阶导数均不大于零，故拉普拉斯应不大于零，与此矛盾。

闭圆盘紧致，连续的 $v_{\epsilon }$ 必有最大值，因此最大值只能出现在边界。边界上 $w=0$ 且 $x^2+y^2=4$，故最大值为 $4\epsilon$。对每个内部点有 $$w(x,y)\le 4\epsilon -\epsilon (x^2+y^2)\le 4\epsilon .$$ 令 $\epsilon \downarrow 0$，得到 $w\le 0$。对 $-w$ 重复相同步骤，得到 $-w\le 0$，因此 $w=0$，即 $u_1=u_2$。

这项证明用了有界闭区域上的连续性、内部二次可微及边界值，而不是从圆形外观直接断言解必对称。若删除边界条件，$u+C$ 对每个常数 $C$ 都满足同一泊松方程，唯一性立即失效。

初值与边界在角点的兼容

对一维热方程，在 $0<x<1$、$t>0$ 给定 $$\begin{array}{cc}{u}_t& =\kappa u_{xx},\\ u(x,0)& =\varphi (x),\\ u(0,t)& =g_0(t),u(1,t)=g_1(t).\end{array}$$ 假设 $\varphi ,g_0,g_1$ 在相应端点连续。如果还要求解在时空闭区域上连续，那么从两条不同路径趋向角点 $(0,0)$ 必须得到同一极限： $$\underset{x\downarrow 0}{lim}u(x,0)=\varphi (0),\underset{t\downarrow 0}{lim}u(0,t)=g_0(0).$$ 所以必要条件是 $\varphi (0)=g_0(0)$；另一端同理，要求 $\varphi (1)=g_1(0)$。例如初始内部值恒为二、两端从 $t>0$ 起保持零时，就不可能在两个初始角点都连续。内部 $t>0$ 仍可能存在光滑解，失败的是同时延拓到角点的连续性，而非在所有意义下都无解。

更高的边界正则性会带来更多必要条件。若要求 $u_t,u_{xx}$ 连续延拓到角点、初值可二次微分、边界数据可一次微分，且方程也在那里通过连续性成立，则还须有 $${g_0}^{\prime }(0)=\kappa {\varphi }^{″}(0),{g_1}^{\prime }(0)=\kappa {\varphi }^{″}(1).$$ 这不是前述“仅在内部为 $C^{2,1}$、闭包上连续”的定义自动包含的要求；讨论解的存在或边界导数时，应明确采用哪一层正则性。

与弱解、强解及数值解的区分

弱解把方程改写为对所有检验函数成立的积分恒等式，通常容许比古典解更少的导数。足够正则的古典解可经分部积分成为相应弱解；弱解只有取得额外正则性后才能升级为古典解。分段系数材料中的界面温度可有斜率跳跃，便适合用弱形式表达。

“强解”常指在索博列夫空间中具有所需弱导数、并几乎处处满足方程的解，但各分支也有其他约定；尤其在随机微分方程中，“强”还涉及解与给定随机驱动的关系。因此，不能离开函数空间和满足方程的具体方式，仅凭名称把不同教材中的解机械排列。

数值方法得到的网格值、插值函数或有限级数需要另作误差与收敛分析。即使连续问题有唯一古典解，也不能只凭一张平滑曲面或很小的有限点残差，断定某个数值结果就是该古典解。

变式。 在同一半径为二的圆盘上，改为 $-\Delta u=2$、边界 $u=3$。仍取 $u=A+B{r}^2$，其中 $r^2=x^2+y^2$。方程给出 $-4B=2$，所以 $B=-1/2$；边界要求 $A-2=3$，所以 $$u(x,y)=5-\frac{x^2+y^2}{2}.$$ 其拉普拉斯为 $-2$、边界为三、圆心为五。与主例比较，源项加倍使“高于边界的部分”加倍，边界值增加三则使整个解平移三；这两种改变在方程与边界检查中承担不同作用。