弱解

弱解（weak solution）是通过积分恒等式满足微分方程的解。把方程与一族检验函数相乘并积分，再用分部积分把部分导数移到检验函数上，便能在未知函数不具有全部古典导数时保留方程的含义。“弱”描述满足方程的方式；积分等式仍须对指定空间中的每一个检验函数准确成立，并非允许任意大小的误差。

例如，两种导热材料接合后，温度可以连续，温度曲线的斜率却在接面改变。此时逐点计算二阶导数可能失效，热量收支仍能在积分意义下成立。下文先从一维方程建立这种对应，再给出常用的椭圆方程弱形式。

从分部积分到检验函数

先考虑区间 $(0,1)$ 上的方程及零边界条件： $$-u^{″}=f,u(0)=u(1)=0.$$ 若 $u$ 足够光滑，将等式乘以一个端点取零的光滑函数 $v$，再用分部积分法，得到 $$\begin{array}{cc}{\int }_0^{1}fv\mathrm{d}x& =-{\int }_0^1{u}^{″}v\mathrm{d}x\\ & =-[u^{\prime }v{]}_0^1+{\int }_0^1{u}^{\prime }{v}^{\prime }\mathrm{d}x\\ & ={\int }_0^1{u}^{\prime }{v}^{\prime }\mathrm{d}x.\end{array}$$ 边界项消失的原因是 $v(0)=v(1)=0$，不是 $u^{\prime }$ 必须在端点为零。新的等式只出现 $u$ 的一阶导数。这一步降低了对未知函数的求导要求。

函数 $v$ 称为检验函数。它给不同位置赋予权重：若某段区域中方程的两边不平衡，适当选择集中在该处的 $v$，积分便能检测这种差异。只试验一个 $v$ 或有限几个 $v$，通常不足以证明给定函数是弱解。

要使这种写法容纳不光滑的 $u$，一阶导数本身也要采用积分定义。对开集 $\Omega \subset {ℝ}^d$，若局部可积函数 $u,g_j$ 满足 $$\begin{array}{cc}& {\int }_{\Omega }u{\partial }_j\phi \mathrm{d}x=-{\int }_{\Omega }{g}_j\phi \mathrm{d}x\\ & \text{对所有 }\phi \in C_c^{\mathrm{\infty }}(\Omega ),\end{array}$$ 就称 $g_j$ 为 $u$ 关于第 $j$ 个坐标的弱导数。这里 $C_c^{\mathrm{\infty }}(\Omega )$ 表示无限次可微、且支集紧含在区域内部的函数；因此它在边界附近为零。弱导数若存在，只在“几乎处处相等”的意义下唯一；改变单点的取值不影响这些积分。

椭圆方程的一个标准弱形式

设 $\Omega$ 为有界 Lipschitz 区域，讨论 $$\{\begin{array}{cc}-\mathrm{\nabla }\cdot (A(x)\mathrm{\nabla }u)=f& \text{在 }\Omega \text{ 内},\\ u=0& \text{在 }\partial \Omega \text{ 上}.\end{array}$$ 其中 $f\in L^2(\Omega )$；矩阵 $A(x)$ 实对称、可测，且存在常数 $0<\lambda \le \Lambda <\mathrm{\infty }$，使几乎每个 $x$ 及所有 $\xi \in {ℝ}^d$ 满足 $$\lambda |\xi {|}^2\le {\xi }^{𝖳}A(x)\xi \le \Lambda |\xi {|}^2.$$ 这里 $\mathrm{\nabla }u$ 收集各坐标的一阶弱导数，$\mathrm{\nabla }\cdot$ 表示散度；在一维中 $A$ 就是标量系数 $a(x)$。

索博列夫空间 $H^1(\Omega )$ 由函数本身及全部一阶弱导数都平方可积的函数组成。$H_0^1(\Omega )$ 是 $C_c^{\mathrm{\infty }}(\Omega )$ 在 $H^1$ 范数下的闭包；对这里的边界条件，它准确表达了零迹，即广义的零边界值。在一维区间上，这些函数具有绝对连续代表，可直接用两端的值理解零边界。

定义。 若 $u\in H_0^1(\Omega )$，且对所有 $v\in H_0^1(\Omega )$ 都有 $${\int }_{\Omega }(A\mathrm{\nabla }u)\cdot \mathrm{\nabla }v\mathrm{d}x={\int }_{\Omega }fv\mathrm{d}x.$$ 则称 $u$ 为上述边值问题的弱解。矩阵的有界性以及柯西—施瓦茨不等式保证两侧积分有定义。与只在内部作检验不同，函数空间 $H_0^1$ 也把指定的零边界条件纳入了定义。

非零边界数据可通过选取具有该边界迹的函数 $g$，要求 $u-g\in H_0^1$ 来处理。诺伊曼条件则会改变检验空间及边界积分，不能继续无条件删去边界项。弱形式取决于具体方程、数据与边界条件，没有一个适合所有微分方程的统一积分模板。

接合材料的一维算例

考虑无量纲的教学模型 $$\begin{array}{cc}-(a{u}^{\prime }{)}^{\prime }& =1(0<x<1),\\ u(0)& =u(1)=0,\\ a(x)& =\{\begin{array}{cc}1,& 0<x<1/2,\\ 2,& 1/2<x<1.\end{array}\end{array}$$ 接点上 $a$ 的单点赋值不影响弱形式。若将它解释为稳态导热模型，$a$ 是归一化后的导热系数，源项为均匀生热；物理热流为 $-a{u}^{\prime }$。

为了求解，先记加权斜率 $q=a{u}^{\prime }$。方程要求 $-q^{\prime }=1$，所以先寻找整个区间上连续的 $$q(x)=C-x.$$ 这使接面两侧没有额外的集中源。左段由 $a=1$ 与 $u(0)=0$ 得 $$u_L(x)=Cx-\frac{x^2}{2}.$$ 右段由 $a=2$ 得 ${u_R}^{\prime }=(C-x)/2$；从 $u_R(1)=0$ 向左积分，得到 $$u_R(x)=\frac{1-x^2}{4}-\frac{C}{2}(1-x).$$ 温度在接面连续，于是 $$\begin{array}{cc}{u}_L(1/2)=u_R(1/2)& ⟺\frac{C}{2}-\frac{1}{8}=\frac{3}{16}-\frac{C}{4},\\ \frac{3C}{4}& =\frac{5}{16},C=\frac{5}{12}.\end{array}$$ 因此候选解是 $$u(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{5x}{12}-\frac{x^2}{2},& 0\le x\le 1/2,\\ \frac{1+5x-6x^2}{24},& 1/2\le x\le 1.\end{array}$$

两段曲线在接面连续相连。接面右侧的系数较大，相同加权斜率对应的普通斜率较小。最高点为 (5/12,25/288)。

直接检查端点与接点：$u(0)=u(1)=0$、$u(1/2)=1/12$，且分段导数有界，所以 $u\in H_0^1(0,1)$。但导数的单侧极限分别为 $$u^{\prime }(1/2-)=-\frac{1}{12},u^{\prime }(1/2+)=-\frac{1}{24}.$$ 两者不同，故 $u$ 在接点不可微，不能作为全区间内的一阶连续可微函数来解释原方程。相比之下，加权后的量满足 $$a{u}^{\prime }=\frac{5}{12}-x$$ 并在接点连续。图中 $u^{\prime }$ 的跳跃与 $q=a{u}^{\prime }$ 的连续应分开辨认。

虚线表示普通斜率 u′，实线表示加权斜率 q=au′。接面右侧 a=2，使 q 恰好接上左侧；物理热流的符号与 q 相反。

还要核验它对任意 $v\in H_0^1(0,1)$ 满足弱形式。利用一维绝对连续代表与端点值， $$\begin{array}{cc}{\int }_0^{1}a{u}^{\prime }{v}^{\prime }\mathrm{d}x& ={\int }_0^1(\frac{5}{12}-x)v^{\prime }\mathrm{d}x\\ & ={\left[(\frac{5}{12}-x)v\right]}_0^1+{\int }_0^{1}v\mathrm{d}x\\ & ={\int }_0^{1}v\mathrm{d}x.\end{array}$$ 右端正是源项 $f=1$ 所要求的积分，因此它确实是弱解。

界面条件的作用。 若只分别解两侧的微分方程，却让 $q$ 在接点从 $q_{-}$ 跳到 $q_{+}$，分段积分会额外出现 $$(q_{-}-q_{+})v(1/2).$$ 当源项只是普通函数 $1$ 时，这一项必须消失。它说明弱形式不仅保留各段方程，还检测到了接面的收支；只检查“除了一个点都满足方程”会遗漏这条条件。

唯一性与能量最小化

在上述标准椭圆弱形式中，若 $u_1,u_2$ 对相同数据都是弱解，令 $w=u_1-u_2\in H_0^1$。两条弱等式相减并取 $v=w$，得到 $$0={\int }_{\Omega }(A\mathrm{\nabla }w)\cdot \mathrm{\nabla }w\mathrm{d}x\ge \lambda {\int }_{\Omega }|\mathrm{\nabla }w{|}^2\mathrm{d}x.$$ 因此 $\mathrm{\nabla }w=0$ 几乎处处。由 $H_0^1$ 上的庞加莱不等式 $\Vert w{\Vert }_{L^2}\le C\Vert \mathrm{\nabla }w{\Vert }_{L^2}$，可知 $w=0$ 几乎处处，即弱解在这个函数空间中至多一个。这里引用了有界区域上的庞加莱不等式，并未把“梯度为零”自动当作任意边界数据下的唯一性结论。

对实对称 $A$，还可定义能量 $$\begin{array}{cc}J(z)=& \frac{1}{2}{\int }_{\Omega }(A\mathrm{\nabla }z)\cdot \mathrm{\nabla }z\mathrm{d}x\\ & -{\int }_{\Omega }fz\mathrm{d}x(z\in H_0^1).\end{array}$$ 若 $u$ 是弱解，把任意竞争函数写成 $z=u+w$，展开后得到 $$\begin{array}{cc}& J(u+w)-J(u)\\ & ={\int }_{\Omega }(A\mathrm{\nabla }u)\cdot \mathrm{\nabla }w\mathrm{d}x-{\int }_{\Omega }fw\mathrm{d}x\\ & +\frac{1}{2}{\int }_{\Omega }(A\mathrm{\nabla }w)\cdot \mathrm{\nabla }w\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{2}{\int }_{\Omega }(A\mathrm{\nabla }w)\cdot \mathrm{\nabla }w\mathrm{d}x\ge 0.\end{array}$$ 所以弱解使这项能量最小。反过来，若 $u$ 最小化 $J$，对每个 $v\in H_0^1$ 考察 $J(u+tv)$，在实数 $t=0$ 处的一阶导数必须为零，恰得弱等式。这解释了弱形式与变分问题的联系；实际有限元法再把试探、检验空间限制为有限维空间，所得离散解一般只满足有限维检验等式。

与古典解的关系及一个变式

当系数与解足够光滑，古典解经分部积分得到相应弱等式。反方向需要额外正则性。例如 $A$ 连续可微、$u\in C^2(\Omega )$、$f$ 连续时，弱等式对内部光滑检验函数成立，便有 $${\int }_{\Omega }[-\mathrm{\nabla }\cdot (A\mathrm{\nabla }u)-f]\phi \mathrm{d}x=0.$$ 方括号内是连续函数；如果它在某点严格为正或严格为负，在该点足够小的邻域中仍同号，选择在那里非零且非负的光滑检验函数就会产生非零积分，矛盾。因此方程在每个内部点成立。缺少这些正则性时，前述分段材料算例已经显示了弱解不必有古典导数。

变式。 把算例中的系数改为整个区间都取 $a=1$，保留源项与边界条件。此时 $u^{\prime }=C-x$，积分给出 $u=Cx-x^2/2$；由 $u(1)=0$ 得 $C=1/2$，所以 $$u(x)=\frac{x(1-x)}{2}.$$ 它的最大值为 $1/8$，位于 $x=1/2$。这个解光滑，既是古典解也是弱解。与原例最大值 $25/288$、位置 $5/12$ 的差别，是系数改变后重新求解的结果，而非两种“解”的定义给出了不同答案。

对非线性守恒律，仅要求弱等式还可能不能唯一选出解，通常须进一步施加熵条件。那是另一类方程的可容许性要求，与本篇对一致椭圆边值问题的能量唯一性证明有不同假设。