极点配置

极点配置（pole placement）是通过选择反馈增益，使线性闭环系统具有指定特征值的设计方法。这里的极点指状态矩阵的特征值；若输入输出模型存在消去，传递函数中可见的极点可能少于内部模态，因此稳定性分析不能只看被消去后的分式。

从目标衰减速度选择多项式

对二重积分系统 $\dot{q}=v,\dot{v}=u$，取状态反馈 $u=-k_{1}q-k_{2}v$，闭环矩阵为 $$A-BK=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -k_1& -k_2\end{array}\right).$$ 计算行列式： $$det(sI-A+BK)=det\left(\begin{array}{cc}s& -1\\ k_1& s+k_2\end{array}\right)=s^2+k_{2}s+k_1.$$ 若希望极点为 $-2,-4$，目标多项式为 $(s+2)(s+4)=s^2+6s+8$。逐项比较便得 $K=(8,6)$。实增益的特征多项式系数为实数，所以非实目标极点必须成共轭对。

对初值 $q(0)=1,v(0)=0$，两组目标 $(-1,-2)$ 与 $(-2,-4)$ 分别给出 $$q_1(t)=2e^{-t}-e^{-2t},q_2(t)=2e^{-2t}-e^{-4t}.$$ 第二组是第一组的时间压缩，但初始输入从 $-2$ 增加到 $-8$。指定更快的极点需要付出输入代价，执行器限制可能使这个线性设计无法实现。

较快极点使同一响应沿时间轴压缩。图中只比较名义无饱和模型；输入峰值也随增益改变。

可控性与可配置的范围

设 $A\in {ℝ}^{n\times n}$、$B\in {ℝ}^{n\times m}$。极点配置定理指出：对任意给定的、关于实轴共轭对称的 $n$ 个目标特征值（按重数计），存在实矩阵 $K$ 使 $A-BK$ 具有这些特征值，当且仅当 $(A,B)$ 可控。本例的可控矩阵为 $$𝒞=[B,AB]=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),$$ 行列式为 $-1$，所以能够配置两个极点。一般定理可由可控标准形证明；下面展示单输入标准形中的关键一步。

若坐标变换后 $$A_c=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\\ -a_0& -a_1& \cdots & -a_{n-1}\end{array}\right),B_c=(0,\dots ,0,1{)}^{𝖳},$$ 则减去 $B_c{K}_c$ 只改变最后一行。其特征多项式系数从 $a_j$ 变成 $a_j+k_{j+1}$，因此取 $k_{j+1}={\alpha }_j-a_j$ 就得到任意目标多项式 $s^n+{\alpha }_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +{\alpha }_0$。可控性保证这种标准形坐标存在；不可控模态则不会随反馈任意移动。

重复极点、数值计算与变式

特征值相同不意味着所有瞬态相同；Jordan结构和特征向量的条件也影响响应。重复极点或高度接近的极点可能使计算敏感。数学上存在某个增益，不等于任何具体数值算法都接受所有重复极点请求，也不意味着所得增益适合含噪测量。

变式。 要求共轭极点 $-1\pm 2i$，目标多项式为 $(s+1{)}^2+4=s^2+2s+5$，故 $K=(5,2)$。它是衰减振荡，而非两个实指数的单调组合。再把输入矩阵改成零矩阵，则 $A-BK=A$，无论怎样选增益都无法移动原来的零极点。

连续时间稳定目标在左半平面；离散时间则应置于单位圆内。若只要求存在某个稳定化反馈而不指定全部极点，应检查可稳定性，这比可控性弱。