孤立奇点

孤立奇点（isolated singularity）指复函数在某点本身尚未全纯定义，但在该点周围一个完整的去心圆盘内全纯的情形。先要有“周围除了这一点没有其他障碍”的前提，才可以进一步分为可去奇点、极点和本性奇点。

准确地说，若存在 $R>0$，使 $f$ 在 $0<|z-a|<R$ 全纯，就研究 $a$ 处的孤立奇性。即使缺失只是表达式没有补值，仍可作为待分类的孤立奇点；分类会说明这个缺失能否修补。

三种类型及其判据

• 可去奇点：能够在 $a$ 补一个值，使函数在整个圆盘全纯。等价于去心小邻域内有界，或洛朗展开没有负次幂。
• 极点：存在正整数 $m$，使 $(z-a{)}^{m}f(z)$ 全纯延拓到 $a$，且其值非零；称为 $m$ 阶极点。等价于函数模在 $z\to a$ 时趋于无穷，或洛朗主部只有有限个非零项。
• 本性奇点：既不可去也不是极点。其洛朗主部有无限多个非零项，靠近该点时不能由一个固定负幂控制为极点。

这里极点的有限主部必须非空，不能把可去点也叫作零阶极点而与定义混淆。可去奇点定理证明有界性与可去性等价；本性奇点另述其稠密取值性质。

洛朗展开怎样决定阶数

在去心圆盘内，洛朗级数唯一地给出 $$f(z)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(z-a{)}^n.$$ 没有负幂时，非负幂级数直接提供补值。若最低幂为 $-m$ 且 $c_{-m}\ne 0$，乘以 $(z-a{)}^m$ 后得到在中心非零的幂级数，因而恰是 $m$ 阶极点。

反方向，若函数有上述极点因式分解，把全纯因子作泰勒展开，只会产生有限负幂；若主部有无限项，则前两种可能都被排除。这说明三分法穷尽了满足去心全纯前提的所有情形。

分子消去改变真正阶数

考察 $$f(z)=\frac{e^z-1-z}{z^3},z\ne 0.$$ 分母的三次幂不意味着三阶极点。分子展开为 $$e^z-1-z=\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\frac{z^4}{24}+\cdots ,$$ 所以 $$f(z)=\frac{1}{2z}+\frac{1}{6}+\frac{z}{24}+\cdots .$$ 唯一负幂是 $1/(2z)$，零是简单极点，且留数为 $1/2$。亦可用极限 $zf(z)\to 1/2$ 核对极点阶数。

变式。 再从分子减去 $z^2/2$，得到 $$g(z)=\frac{e^z-1-z-z^2/2}{z^3}.$$ 其展开从常数 $1/6$ 起，零为可去点，补值为 $1/6$。两式分母完全相同，分类却不同，原因是分子的零点阶数增加了一阶。

三个基本样本

$\sin z/z$ 在零可去，补值为一；$1/z^2$ 在零是二阶极点；$e^{1/z}=1+1/z+1/(2z^2)+\cdots$ 在零有无限主部，是本性奇点。最后一个函数沿 $z=1/n$ 趋于无穷，沿 $z=-1/n$ 却趋于零，故既无有限极限，也没有极点所要求的统一模趋于无穷。

极点聚集时不能套三分法

函数 $1/\sin (1/z)$ 在 $z=1/(k\pi )$ 有极点，其中非零整数 $k$ 可任意大。这些点聚集到零，因此零周围不存在一个完整去心圆盘使函数处处全纯。零是奇点的聚集位置，不是上述意义的孤立奇点，不能仅凭振荡或无界就称它为本性奇点。

只画正半轴的前几项；负半轴也有同样聚集。图说明三分法所需的去心圆盘全纯条件在零处失败。

另一个常见区别是：沿实轴的极限不足以分类复奇点。$e^{-1/z^2}$ 沿实轴接近零时趋于零，但沿虚轴 $z=iy$ 时为 $e^{1/y^2}$，反而无界。分类必须控制所有复方向。

参考文献

Jiří Lebl，Guide to Cultivating Complex Analysis，1.9，2026-07-11，§5.2.1—5.2.2（孤立奇点、极点与洛朗主部）。