对数逻辑斯蒂分布

对数逻辑斯蒂分布（log-logistic distribution），也称 Fisk 分布，是正随机变量的分布，其自然对数服从逻辑斯蒂分布。本文以 $a>0$ 表示尺度、$k>0$ 表示形状；a 同时是中位数，k 控制幂尾和失效率形状。

设一个合成持续时间模型的中位数为三，形状为二。时间超过六的概率等于五分之一；虽然中位数有限，均值约为 $4.7124$，方差却不有限。这说明正值右偏分布在形状上看似相近，尾矩条件仍可能截然不同。

从逻辑斯蒂变量取指数

设 $Y$ 服从位置 $\log a$、尺度 $1/k$ 的逻辑斯蒂分布，取 $X=e^Y$。由于指数严格递增，对 $x>0$， $$F_X(x)=\frac{1}{1+e^{-k(\log x-\log a)}}=\frac{(x/a{)}^k}{1+(x/a{)}^k},S_X(x)=\frac{1}{1+(x/a{)}^k}.$$ 求导得到 $$f_X(x)=\frac{k}{a}\frac{(x/a{)}^{k-1}}{[1+(x/a{)}^k{]}^2}.$$ 在 $x\le 0$ 处CDF为零，闭支撑为 $[0,\mathrm{\infty })$，零点无原子。CDF的两端极限为零和一，因此密度归一化；SciPy 中对应 fisk(c=k, scale=a, loc=0)。

两曲线在三处生存概率均为一半，六处分别为1/5与1/9。

反解 $F(x)=p$ 得分位数 $Q(p)=a[p/(1-p){]}^{1/k}$；在 $p=1/2$ 处为 a。对于 $a=3,k=2$，$F(1.5)=1/5$、$F(6)=4/5$，所以主例中央倍数区间的概率为 $$Pr(1.5\le X\le 6)=\frac{4}{5}-\frac{1}{5}=\frac{3}{5}.$$ 两个端点分别是中位数的一半和两倍，左右加法距离并不相等。

贝塔积分与尾矩条件

若 $U\sim \mathrm{Uniform}(0,1)$，分位数构造给出 $X=a[U/(1-U){]}^{1/k}$。对实数 r， $$𝔼X^r=a^r{\int }_0^1{u}^{r/k}(1-u{)}^{-r/k}\mathrm{d}u=a^{r}B(1+r/k,1-r/k),-k<r<k.$$ 两端条件分别来自 u=0 和 u=1 的可积性；使用伽马反射公式还可写成 $a^r(\pi r/k)/\sin (\pi r/k)$，在 r=0 按极限取一。均值存在需 $k>1$，为 $a\pi /[k\sin (\pi /k)]$；方差存在需 $k>2$，由二阶矩减均值平方获得。主例 k=2 正好处在二阶矩发散的边界，不能把分母中的 $\sin \pi =0$ 当作一个可代入的有限值。

作为概率变式，保持 a=3，将 k 改为三，则 $S(6)=1/9$，均值变为 $2\pi /\sqrt{3}\approx 3.627599$，二阶矩存在。尾部 $S(x)\sim (a/x{)}^k$ 明确解释了形状增大为何减少极大值的影响。

先升后降的失效率

失效率为 $h(x)=f(x)/S(x)$，因此 $$h(x)=\frac{k}{a}\frac{(x/a{)}^{k-1}}{1+(x/a{)}^k}.$$ 对数求导并通分，导数的符号与 $(k-1)-(x/a{)}^k$ 相同。所以 $k>1$ 时，失效率先升后降，峰在 $x=a(k-1{)}^{1/k}$；$0<k\le 1$ 时在正半轴递减。主例峰位在三，峰值为 $1/3$。失效率是“已持续到此时”的局部速率，与密度的峰位不同。

峰位在 x=3、峰值1/3；这是条件失效率的峰，不是密度众数。

普通二参数韦布尔分布的失效率只能单调或恒定，而这里允许一个内部峰。根据数据中失效率的形状选择候选族，比只依据“右偏、正值”更有辨别力。但这是模型的形状限制，不是对任何真实持续时间的经验定律；带结构性零、多个峰或有界支持的数据还需另行建模。指数变换得到正数支撑，也不能把本族与实轴上的逻辑斯蒂分布混用。