逻辑斯蒂分布

逻辑斯蒂分布（logistic distribution）是在实数轴上定义的一族对称连续分布，其累积分布是一条逻辑斯蒂 S 形曲线。位置 $\mu \in ℝ$ 与尺度 $s>0$ 控制中心和展开程度。它是一个随机变量的分布；使用同一 S 形函数构造二分类概率的逻辑回归，是另一个统计建模问题。

设 $U$ 在 $(0,1)$ 上均匀，将概率位置转成对数优势 $Z=\log [U/(1-U)]$。接近零和一的 U 分别被拉向负、正无穷。取 $X=\mu +sZ$，便得到逻辑斯蒂随机变量。

由对数优势得到分布

对数优势在 $(0,1)$ 上严格递增，故 $$Pr(X\le x)=Pr(U\le \frac{1}{1+e^{-(x-\mu )/s}})=F(x)=\frac{1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}.$$ 两端极限为零、一，求导得到 $$f(x)=\frac{e^{-(x-\mu )/s}}{s[1+e^{-(x-\mu )/s}{]}^2}=\frac{1}{s}F(x)[1-F(x)].$$ 所以密度非负且积分一，闭支撑为 $ℝ$，无点概率质量。$F(\mu )=1/2$，且 $f(\mu +t)=f(\mu -t)$。

尺度加倍使峰降低并向两侧展开，密度仍各自积分一。

反解累积分布，分位数为 $$Q(p)=\mu +s\log \frac{p}{1-p},0<p<1.$$ 四分位数为 $\mu \pm s\log 3$，四分位距为 $2s\log 3$。同样，$\log [F(x)/(1-F(x))]=(x-\mu )/s$ 是直线；这解释了分布曲线与对数优势坐标之间的联系。

用贝塔积分求矩

对标准变量 $Z=\log [U/(1-U)]$，矩母函数可直接对 U 积分： $$M_Z(t)={\int }_0^1{u}^t(1-u{)}^{-t}\mathrm{d}u=B(1+t,1-t),-1<t<1.$$ 这两个端点条件来自幂积分可积性。用贝塔—伽马关系和伽马反射公式 $\Gamma (t)\Gamma (1-t)=\pi /\sin (\pi t)$，得到 $$M_Z(t)=\frac{\pi t}{\sin (\pi t)}=1+\frac{{\pi }^2{t}^2}{6}+O(t^4).$$ 在零处按连续极限取值一。 一次项为零，二次项等于 $𝔼[Z^2]/2$，因而 $$𝔼X=\mu ,\mathrm{Var}(X)=\frac{{\pi }^2{s}^2}{3}.$$ 矩母函数只在 $|t|<1/s$ 内有限，但所有非负整数阶矩都存在。尺度 s 不是标准差；标准差为 $\pi s/\sqrt{3}$。

中央区间与分位数例

取 $\mu =10,s=2$。把端点选为 $10\pm 2\log 3$，累积分布分别是四分之一和四分之三，因此区间概率恰为二分之一。若把半宽改为 $2\log 9$，变式端点的累积概率为十分之一和十分之九，中央概率为 $0.8$。

标记点分别为 (10−2log3,1/4)、(10,1/2)、(10+2log3,3/4)。

图中的 S 形曲线是累积概率，始终在零和一之间；上一幅钟形图是密度。两图纵坐标不能混用。在本例中，中心密度为 $1/(4s)=1/8$，而中心以下的概率为二分之一。若把尺度加倍，四分位距和标准差加倍，中心仍在十；这与把位置加十所造成的整体平移不同。

逻辑斯蒂密度的两侧以指数速度衰减，比正态的平方指数尾部更厚，又比柯西的幂尾薄。对称、单峰数据不自动服从该分布；尤其多峰或有结构性点质量的数据不能由一个普通位置尺度模型精确表示。名称相近的对数逻辑斯蒂分布则以正数为取值对象，来自对逻辑斯蒂变量取指数，而非平移或缩放。