帕累托分布

帕累托分布（Pareto distribution）是一族具有幂律右尾的连续分布。本文讨论第一型，以最小尺度 $x_m>0$ 和尾指数 $\alpha >0$ 为参数：超过某阈值的概率，按阈值的负 α 次幂下降。尾指数越小，极大值出现得越频繁，有限阶矩也越少。

例如，在合成模型 $x_m=2,\alpha =3$ 中，把阈值从二翻倍到四，尾概率变成 $2^{-3}=1/8$；再从四翻倍到八，尾概率再次乘八分之一。这种倍数上的重复规则，是幂尾与指数尾的区别。

支撑与幂尾

定义生存函数与密度为 $$S(x)={\left(\frac{x_m}{x}\right)}^{\alpha },f(x)=\frac{\alpha x_m^{\alpha }}{x^{\alpha +1}},x\ge x_m.$$ 当 $x<x_m$，S 为一、密度为零。闭支撑为 $[x_m,\mathrm{\infty })$，下端点没有点质量。密度是 $-S^{\prime }(x)$，并且 $${\int }_{x_m}^{\mathrm{\infty }}\alpha x_m^{\alpha }{x}^{-\alpha -1}\mathrm{d}x={[-x_m^{\alpha }{x}^{-\alpha }]}_{x_m}^{\mathrm{\infty }}=1.$$ SciPy 对应 pareto(b=α, scale=x_m, loc=0)；平移参数 loc 与本篇的最小尺度不是同一个量。

密度只从 x=2 开始；尾指数较小者有更厚右尾。

给定已经超过阈值 $u\ge x_m$，再超过 $cu$（$c\ge 1$）的概率为 $$Pr(X>cu\mid X>u)=\frac{(x_m/cu{)}^{\alpha }}{(x_m/u{)}^{\alpha }}=c^{-\alpha }.$$ 它与 u 无关。这是倍数阈值的稳定性。相同的加法增量四却给出 $Pr(X>6\mid X>2)=1/27$ 与 $Pr(X>8\mid X>4)=1/8$，所以在加法尺度上并不满足指数分布的无记忆性。

矩的存在取决于尾指数

对实数 r， $$𝔼X^r=\alpha x_m^{\alpha }{\int }_{x_m}^{\mathrm{\infty }}{x}^{r-\alpha -1}\mathrm{d}x=\frac{\alpha x_m^r}{\alpha -r},r<\alpha .$$ 当 $r=\alpha$，积分为对数发散；当 $r>\alpha$，幂积分也发散。因下界严格为正，负阶矩没有额外的零点问题。因此 $$𝔼X=\frac{\alpha x_m}{\alpha -1}(\alpha >1),\mathrm{Var}(X)=\frac{\alpha x_m^2}{(\alpha -1{)}^2(\alpha -2)}(\alpha >2).$$ 若 $\alpha \le 1$，均值为正无穷；若 $1<\alpha \le 2$，均值有限而二阶矩无穷。主例均值为三、方差为三；把 α 改成 $3/2$ 时，均值变成六，方差不再有限。

横轴为 log2(x/2)，纵轴为 log2 S(x)；主例在横坐标一处的尾概率为 1/8。

图中的纵横坐标都已取对数，尾函数变成直线 ${\log }_{2}S(x)=-\alpha {\log }_2(x/x_m)$；斜率取决于尾指数。有限数据在一段双对数图上近似成直线，只是候选尾模型的线索，不能证明所有尺度都遵循精确幂律。

对数变换与简单估计

令 $Y=\log (X/x_m)$。对 $y\ge 0$，有 $Pr(Y>y)=Pr(X>x_m{e}^y)=e^{-\alpha y}$，所以 Y 服从率 α 的指数分布。这提供了生成方法：取均匀 $U\in (0,1)$，令 $X=x_m{U}^{-1/\alpha }$。

若 $X_1,\dots ,X_n$ 独立同分布，且 $x_m$ 已知，观测均不小于它，则忽略与 α 无关的常数，对数似然为 $$\ell (\alpha )=n\log \alpha -\alpha \sum _i\log (x_i/x_m)+C.$$ 若分母正，导数为零给出 $\hat{\alpha }=n/\sum _i\log (x_i/x_m)$，二阶导数 $-n/{\alpha }^2<0$ 保证全局最大值。变式样本 $(2,4,8,4)$、已知 $x_m=2$，得到 $\hat{\alpha }=4/(4\log 2)=1/\log 2\approx 1.442695$。这是小型合成样本的点估计，不据此认定总体没有有限方差。若全部观测等于下端点，分母为零，似然随 α 增大无界，没有有限最大值。

普通帕累托模型只描述一个严格正下界以上的精确幂尾；若只拟合超过较高阈值的数据，阈值以下的概率和分布还需另行说明。广义帕累托分布则直接以超过阈值后的超额为对象，可包含指数尾和有限上端点，不只是给本式随意多加一个参数。