广义帕累托分布

广义帕累托分布（generalized Pareto distribution，GPD）是非负超额的连续分布族，用尺度 $\beta >0$ 和形状 $\xi \in ℝ$ 区分幂尾、指数尾和有限端点。它的一个关键性质是提高阈值后，剩余超额仍在同一分布族中，形状不变而尺度按阈值改变。

设 Y 表示已经超过某个基准阈值的超额，而不是原始观测值。在合成模型 $\xi =1/2,\beta =2$ 中，$Pr(Y>4)=1/4$。如果进一步只研究那些超额已经超过四的观测，新的随机对象应为 $Y-4\mid Y>4$，不能继续把它当作原尺度二的 Y。

生存函数、支撑与指数极限

当 $\xi \ne 0$ 时定义 $$S(y)={(1+\frac{\xi y}{\beta })}^{-1/\xi },f(y)=\frac{1}{\beta }{(1+\frac{\xi y}{\beta })}^{-1/\xi -1}.$$ 内部条件为 $y\ge 0$ 且 $1+\xi y/\beta >0$。$\xi \ge 0$ 时闭支撑为 $[0,\mathrm{\infty })$；$\xi <0$ 时为 $[0,-\beta /\xi ]$，上端点处生存概率为零，超过它也为零。下界以下累积分布为零，所有端点都没有原子。密度是 $-S^{\prime }(y)$，而生存函数从一降到零，因此积分为一。

在 $\xi =0$ 处使用连续极限。由 $\log (1+\xi y/\beta )/\xi \to y/\beta$，得到 $S(y)=e^{-y/\beta }$、$f(y)={\beta }^{-1}{e}^{-y/\beta }$，即尺度 β 的指数分布。形状负一则为 $[0,\beta ]$ 上的均匀分布。

尺度均为二；ξ=−1/2 在四处达到有限上端点。

阈值提高后的尺度变化

取阈值 u，使 $u\ge 0$ 且 $1+\xi u/\beta >0$。对仍在支撑内的 $z\ge 0$，条件超额的生存函数为 $$Pr(Y-u>z\mid Y>u)=\frac{S(u+z)}{S(u)}={\left[\frac{1+\xi (u+z)/\beta }{1+\xi u/\beta }\right]}^{-1/\xi }={(1+\frac{\xi z}{\beta +\xi u})}^{-1/\xi }.$$ 所以新尺度是 ${\beta }_u=\beta +\xi u>0$。当 $\xi <0$ 时，提高阈值会缩短到上端点的剩余距离；当 $\xi >0$ 时，条件超额的尺度反而增大。$\xi =0$ 时尺度不变，恰好是无记忆情形。

主例中 $u=4$ 给出新尺度 ${\beta }_u=4$。再超额四的概率为 $$Pr(Y>8\mid Y>4)={(1+\frac{(1/2)4}{4})}^{-2}=\frac{4}{9}.$$ 也可直接用 $S(8)/S(4)=(1/9)/(1/4)$ 核对。图中的两条曲线分别属于原超额与提高阈值后的超额，横坐标都从各自的零点开始。

原超额尺度二；给定 Y>4 后的新超额 Y−4 尺度四。

期望超额与尾矩边界

非负变量的期望可用尾积分计算。在均值存在时，对 $\xi \ne 0$ 令 $v=1+\xi y/\beta$，直接积分幂函数得到 $$𝔼Y={\int }_0^{y_{max}}S(y)\mathrm{d}y=\frac{\beta }{1-\xi },\xi <1.$$ 正形状时积分在无穷远收敛恰要求 $\xi <1$；非正形状时均值总有限。再由 $𝔼Y^2=2{\int }_0^{y_{max}}yS(y)\mathrm{d}y$ 代入相同变换，得到 $$𝔼Y^2=\frac{2{\beta }^2}{(1-\xi )(1-2\xi )},\mathrm{Var}(Y)=\frac{{\beta }^2}{(1-\xi {)}^2(1-2\xi )},\xi <1/2.$$ 正形状下 r 阶正矩存在恰要求 $r<1/\xi$；零或负形状的所有正阶矩都存在。主例均值为四，却没有有限方差。结合阈值稳定性，平均剩余超额为 $𝔼[Y-u\mid Y>u]=(\beta +\xi u)/(1-\xi )$，主例在 u=4 时等于八。

作为端点变式，令 $\xi =-1/2,\beta =2$，支撑上端为四。此时 $S(3)=(1-3/4{)}^2=1/16$；提高阈值到三，新尺度为 $1/2$，剩余超额的上端恰为一。任何超过原值四的正尾概率，都与这个模型矛盾。

阈值稳定性是本分布族内部的精确代数性质，并不证明任意数据超过任意阈值后都精确服从 GPD。应用中还需说明原阈值的超越概率、尾部模型适用范围以及观测依赖；只给一个超额分布不能自动恢复阈值以下的完整分布。广义极值分布以区组最大值为对象，和这里逐个超过阈值后的超额有不同的取样机制。