广义极值分布

广义极值分布（generalized extreme value distribution，GEV）是一族用于区组最大值的三参数连续分布，将耿贝尔、弗雷歇和反向韦布尔三类尾行为统一在一个形状参数中。位置 $\mu \in ℝ$、尺度 $\sigma >0$ 和形状 $\xi \in ℝ$ 的作用不同，尤其形状还决定支撑端点。

例如，把每天的全部观测压缩为一个最大值，再把若干天合成更大的区组，就会再次取最大值。本篇关注的最大稳定性说明：若每日最大值精确服从某个 GEV，独立若干日的最大值仍在同一族中，且参数变化可以手算。

分布函数与端点

当 $\xi \ne 0$，记 $t(x)=1+\xi (x-\mu )/\sigma$。在 $t(x)>0$ 的内部，定义 $$G(x)=\exp [-t(x{)}^{-1/\xi }],g(x)=\frac{1}{\sigma }t(x{)}^{-1/\xi -1}\exp [-t(x{)}^{-1/\xi }].$$ 若 $\xi >0$，闭支撑为 $[\mu -\sigma /\xi ,\mathrm{\infty })$，下端以下 G 为零；若 $\xi <0$，闭支撑为 $(-\mathrm{\infty },\mu -\sigma /\xi ]$，上端以上 G 为一。端点无原子。内部密度为 G 的导数，各边极限从零到一，保证归一化。

当 $\xi \to 0$，用 $\log (1+\xi z)/\xi \to z$，得到 $$G_0(x)=\exp [-e^{-(x-\mu )/\sigma }],x\in ℝ.$$ 这就是最大值方向的耿贝尔分布。正形状的右尾为幂尾，对应弗雷歇分布的平移缩放形式；负形状有有限上端点。SciPy 的 genextreme 使用相反的形状符号：本篇 ξ 对应 c=-ξ，GPD 的 SciPy 形状符号则与本篇相同。

ξ=−1/2 的上端点为二；ξ=1/2 的下端点为负二；ξ=0 支撑整条实轴。

再取最大值的参数规律

设 $X_1,\dots ,X_n$ 独立同分布于上述 GEV，$n\ge 1$，令 $M_n=\underset{i}{max}{X}_i$。独立性给出 $$Pr(M_n\le x)=G(x{)}^n=\exp [-nt(x{)}^{-1/\xi }].$$ 希望把指数重新写成 GEV 形式。取 $${\sigma }_n=\sigma n^{\xi },{\mu }_n=\mu +\frac{\sigma }{\xi }(n^{\xi }-1),$$ 则 $$1+\xi \frac{x-{\mu }_n}{{\sigma }_n}=n^{-\xi }t(x).$$ 将右边取 $-1/\xi$ 次幂，恰好得到 $nt(x{)}^{-1/\xi }$；支撑端点也保持一致，所以 $M_n\sim \mathrm{GEV}({\mu }_n,{\sigma }_n,\xi )$。形状零时分别取连续极限，得到 ${\mu }_n=\mu +\sigma \log n$、${\sigma }_n=\sigma$。这就是本族的精确最大稳定性。

实线 G(x)^4 与虚线 GEV(14,4,1/2) 逐点相等，圆点为 x=14 时的 e^(−1)。

在合成模型 $\mu =10,\sigma =2,\xi =1/2$ 中，支撑从六开始。四个独立同分布最大值再合并时，$n^{\xi }=2$，所以新位置为十四、新尺度为四。原分布在十四处为 $G(14)=e^{-1/4}$，四次最大值的累积概率为 $G(14{)}^4=e^{-1}$，也等于新分布在其位置参数十四处的值。位置参数一般不是均值或中位数，而总满足 $G(\mu )=e^{-1}$。

指数变量构造与矩边界

若 $E$ 服从率一指数分布，取 $$X=\mu +\frac{\sigma }{\xi }(E^{-\xi }-1)(\xi \ne 0),X=\mu -\sigma \log E(\xi =0).$$ 前一式对 E 严格递减，解 $X\le x$ 等价于 $E\ge t(x{)}^{-1/\xi }$，因此恰好得到上面的 G。由伽马积分 $𝔼E^{-\xi }=\Gamma (1-\xi )$，在 $\xi <1,\xi \ne 0$ 时均值为 $\mu +\sigma [\Gamma (1-\xi )-1]/\xi$。正形状下，r 阶正的绝对矩存在恰要求 $r<1/\xi$；非正形状的各正阶绝对矩均存在。主例形状二分之一有有限均值，却没有有限方差。

作为端点变式，把形状改为 $-1/2$，位置尺度仍为十和二，最大可能值变成十四。在十三处 $t=1/4$，故 $G(13)=e^{-1/16}\approx 0.939413$；十四以上的尾概率为零。把 ξ 的符号用反，会把有上限的模型错误地变为无上限幂尾模型。

最大稳定性是对独立、同分布且本来就精确属于 GEV 的变量所作的结论。一般原始数据的区组最大值是否适合用 GEV 近似，还涉及尾部条件、区组长度和依赖结构，不能由本篇的代数闭合性质自动证明。超过阈值后保留每个超额的广义帕累托分布采用另一种信息汇总方式，不等同于每块只取一个最大值。