开映射定理（复分析）

开映射定理（open mapping theorem，复分析）说明，连通区域上的非常值全纯函数把开集映成开集。换言之，任意内部点的像都不是像集的边缘：其附近有一整块小圆盘也属于像集。

它与泛函分析中连续线性算子之间的同名定理是不同结论。这里函数不必线性，导数也允许为零；不应把“开映射”直接等同于“处处有全纯逆函数”。

准确陈述

设 $\Omega \subset ℂ$ 为连通开集，$f:\Omega \to ℂ$ 全纯且非常值。对任意开子集 $V\subset \Omega$，像集 $f(V)$ 是复平面中的开集。若函数为常数，非空开集的像只有一点，显然不是开集，因此非常值条件不能省略。

连续函数的定义保证开集的原像是开集；开映射定理说的是开集的像，这是额外性质。一般实光滑映射没有这个保证。

边界留出一个正距离

取任意 $a\in V$，记 $w_0=f(a)$。由于 $f$ 非恒定，恒等定理（复分析）保证 $f-w_0$ 在 $a$ 有某个有限正阶 $m$ 的孤立零点。取充分小的闭圆盘 $\overline{D(a,r)}\subset V$，使圆周上没有该函数的零点。于是紧圆周上有严格正的最小值 $$\delta =\underset{|z-a|=r}{min}|f(z)-w_0|>0.$$ 对每个 $|w-w_0|<\delta$，圆周上都有 $$|w_0-w|<|f(z)-w_0|.$$ 把 $f(z)-w$ 看成 $f(z)-w_0$ 加常量扰动 $w_0-w$，由鲁歇定理知它在圆内仍有 $m$ 个零点，按重数计。因此至少有一点映到 $w$，即 $$D(w_0,\delta )\subset f(D(a,r))\subset f(V).$$ 像集的任意一点都找到这样一个小圆盘，故像集为开集。

证明还给出定量办法：只要在源圆周上找到 $|f(z)-f(a)|$ 的正下界，就得到目标中保证被覆盖的小圆盘，而不必显式写出逆函数。

平方映射的临界点也开放

取 $f(z)=z^2$。对以零为中心、半径 $r$ 的圆盘，它的像恰为半径 $r^2$ 的圆盘。一个方向来自 $|z^2|=|z{|}^2<r^2$；反方向，任意模小于 $r^2$ 的复数都存在平方根，平方根的模小于 $r$。

例如半径 $1/2$ 的源圆盘对应半径 $1/4$ 的像圆盘。虽然 $f^{\prime }(0)=0$，像仍是开集。零附近存在 $z$ 与负 $z$ 的重叠，不能选择一个在整个像小圆盘上全纯的单值平方根逆映射。

左、右图分别属于源平面和像平面。边界虚线表示圆盘不含边界，半径平方的缩小仍保留开放性。

再取中心 $a=1$、$r=1/4$。在源圆周上， $$\begin{array}{cc}|z^2-1|& =|z-1||z+1|\\ & \ge r(2-r)=7/16.\end{array}$$ 所以像集保证包含 $D(1,7/16)$。这里使用的是足够的内含圆盘，不是宣称像区域本身恰为这个圆盘。

有解答的变式与反例

变式。 对 $g(z)=z^3$，$D(0,2)$ 的像恰为 $D(0,8)$，每个非零像值有三个不同原像。开放性完全允许这种多对一行为。

对比 $q(z)=|z{|}^2$：单位圆盘的像为实区间 $[0,1)$，在复平面没有内部。这是实光滑却非全纯的函数，因而不能套用定理。若一个全纯函数的全部取值被限制在一条直线、一个圆周或其他没有平面内部的集合内，开映射定理会迫使它在每个连通区域恒定。

全纯单射的逆映射另有更强的局部理论：其导数不会为零，逆函数也是全纯。开映射定理提供其中的拓扑部分，但并未单独证明所有非常值函数都可逆。

参考文献

Jiří Lebl，Guide to Cultivating Complex Analysis，1.9，2026-07-11，§5.5（鲁歇定理证明及定量内含圆盘），§5.6（局部逆的区别）。