聚点

点 $x$ 是集合 $A\subseteq ℝ$ 的聚点，意思是以 $x$ 为中心的每个开区间，除 $x$ 自己外，仍含 $A$ 中的点。形式上，对每个 $\epsilon >0$ 都存在 $a\in A$ 使 $0<|a-x|<\epsilon$。聚点不必属于集合：0 是 $(0,1)$ 的聚点，但不在集合里。

可用数列逼近

若 $x$ 是聚点，对每个正整数 $n$ 可选 $a_n\in A$ 且 $0<|a_n-x|<1/n$，于是 $a_n\to x$。反过来，若有 $A\setminus \{x\}$ 中的数列收敛到 $x$，那么任意小邻域都含其中某项，故 $x$ 是聚点。这个判据将“每个邻域”转成可检查的趋近过程。

孤立点不是聚点。比如 $A=\{0\}\cup (1,2)$，0 属于 $A$，但 $(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ 内没有别的 $A$ 元素；相反，1 和 2 虽不属于 $A$，却都是聚点。$A$ 的闭包由 $A$ 连同全部聚点构成，在此例为 $\{0\}\cup [1,2]$。

与闭集的关系

集合在实数轴上闭，当且仅当它包含自身的全部聚点。若不包含某聚点，就能从集合中取趋近它的数列，极限跑出了集合。这个说法有别于“每个集合点都是聚点”：有限集合是闭的，却没有聚点。

参考资料

• MIT 18.S190，Metric Spaces 讲义。
• MIT 18.100B，实分析与紧致性讲义。
• 继续阅读：开集与闭集、博尔扎诺—魏尔斯特拉斯定理。