微分

微分把函数在一点附近的变化拆成两部分：由切线预报的一阶变化，以及相对输入改变量更小的余量。对一元函数 $y=f(x)$，在 $x=a$ 可导恰好意味着 $$f(a+h)-f(a)=f^{\prime }(a)h+r(h),\frac{r(h)}{h}⟶0(h\to 0).$$ 这里 $h$ 是输入的实际改变量，不要求它先是某种“无限小的数”。令 $\mathrm{d}x=h$，定义微分 $\mathrm{d}y=f^{\prime }(a)\mathrm{d}x$；实际输出变化则是 $\Delta y=f(a+h)-f(a)=\mathrm{d}y+r(h)$。微分一般不等于实际变化。

用平方根估算一次变化

取 $f(x)=\sqrt{x}$，基点 $a=4$。对 $h\ne 0$ 且 $4+h\ge 0$，有 $$\frac{\sqrt{4+h}-2}{h}=\frac{1}{\sqrt{4+h}+2}⟶\frac{1}{4}.$$ 所以 $f^{\prime }(4)=1/4$，在 4 附近可用直线 $L(4+h)=2+h/4$ 估算平方根。若 $h=1$，切线给出 $\sqrt{5}\approx 2.25$，实际约为 $2.23607$；图中切线值略高于曲线值。若只增加 $0.2$，则 $\sqrt{4.2}\approx 2.05$，实际约为 $2.04939$，差距缩小。

微分是切线预报的竖直变化，实际增量与它之间仍有余量；图取较大的输入改变量以便看清这段差距。

这里的误差可以精确算出。把根式有理化，再减去微分，得到 $$\begin{array}{cc}r(h)& =(\sqrt{4+h}-2)-\frac{h}{4}\\ & =-\frac{h^2}{4(\sqrt{4+h}+2{)}^2}.\end{array}$$ 因而 $r(h)/h\to 0$；误差在本例中甚至是二阶的。$h=0.2$ 时，$r(h)\approx -0.000610$，与直接比较 $2.04939-2.05$ 一致。切线估计不是因为“曲线很像直线”而自动成立，关键是误差相对 $|h|$ 趋零。

切线也不总是高估。取 $p(x)=1/x$，在 $x=2$ 的微分为 $\mathrm{d}p=-\mathrm{d}x/4$。实际增量与微分之差可直接通分： $$(\frac{1}{2+h}-\frac{1}{2})-(-\frac{h}{4})=\frac{h^2}{4(2+h)}(h>-2).$$ 当 $h>0$ 很小时，这个余量为正，切线低估实际函数值；仍有余量除以 $h$ 趋零。判断近似误差的符号与大小，应看所研究的函数，而不能把平方根例子的方向当成通则。

微分与测量误差

设圆的半径 $r$ 以厘米计，面积 $A(r)=\pi r^2$ 以平方厘米计。半径从 10 增加 $\mathrm{d}r=0.1$，微分预报面积增加 $\mathrm{d}A=2\pi r\mathrm{d}r=2\pi$ 平方厘米。直接展开则得 $$\Delta A=\pi (10.1^2-10^2)=2.01\pi \text{平方厘米}.$$ 被忽略的 $0.01\pi =\pi (\mathrm{d}r{)}^2$ 是二次项。若半径变化改为 $0.01$ 厘米，微分为 $0.2\pi$，余量仅 $0.0001\pi$；输入缩小十倍时，这个二次误差缩小一百倍。近似值可用于估算，但报告精度仍要与输入测量精度相称。

与导数、链式法则的关系

在 $\mathrm{d}x\ne 0$ 时，$\mathrm{d}y/\mathrm{d}x=f^{\prime }(a)$。这说明莱布尼茨记号与局部线性变化相容，但求导规则必须从极限与复合函数的条件得到，不能只把符号当分数随意约掉。若 $u=g(x)$、$y=f(u)$ 且两层都在相应点可导，那么 $\mathrm{d}u=g^{\prime }(a)\mathrm{d}x$、$\mathrm{d}y=f^{\prime }(g(a))\mathrm{d}u$；合起来正是链式法则。当输入变为两个量，最贴切的对应物是一个线性函数而非两条互不相干的切线，见偏导数与方向导数与梯度。

参考资料

• OpenStax《Calculus Volume 1》§4.2，线性近似与微分。
• MIT 18.01 单变量微积分讲义，近似与微分。