谓词逻辑与量词嵌套

谓词逻辑给命题添上对象和取值范围。$P(x)$ 是关于对象 $x$ 的性质；“每个对象都满足”写作 $\mathrm{\forall }xP(x)$，“至少有一个满足”写作 $\mathrm{\exists }xP(x)$。没有先说清论域，“每个数都有平方根”便可能在实数域中为假、在复数域中为真。

顺序决定谁依赖谁

把论域都定为整数。命题 $\mathrm{\forall }x\mathrm{\exists }y(y>x)$ 为真：给定任意 $x$，取 $y=x+1$ 即可。这里的 $y$可以随 $x$ 改变。颠倒成 $\mathrm{\exists }y\mathrm{\forall }x(y>x)$ 就是“有一个整数比所有整数都大”，为假；给出任何候选 $y$，取 $x=y+1$ 就反驳了它。

同类量词换位不会改意义，如 $\mathrm{\forall }x\mathrm{\forall }yR(x,y)$ 与 $\mathrm{\forall }y\mathrm{\forall }xR(x,y)$ 等价；不同类量词一般不能随意交换。证明 $\mathrm{\forall }x\mathrm{\exists }y$ 时必须给每个 $x$ 一种构造或存在性论证；证明 $\mathrm{\exists }y\mathrm{\forall }x$ 则要找一个对全部 $x$ 通用的对象。两个任务的强弱不同。

否定要逐层推进

“每个学生都做对了至少一道题”若写作 $\mathrm{\forall }s\mathrm{\exists }qC(s,q)$，它的否定是“有某个学生一道题也没做对”，即 $$\mathrm{\neg }\mathrm{\forall }s\mathrm{\exists }qC(s,q)\equiv \mathrm{\exists }s\mathrm{\forall }q\mathrm{\neg }C(s,q).$$ 否定越过一个量词就交换一次 $\mathrm{\forall }\leftrightarrow \mathrm{\exists }$，走到最里面才否定谓词。若只把“至少一道”改为“全部没做对”，却没把“每个学生”改为“某个学生”，得到的不是原句的否定。

在定义极限时，$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }x$ 的顺序表示：允许 $\delta$ 随误差要求 $\epsilon$ 改变，但不能再随已经选定的 $x$ 临时改变。这种依赖关系是严谨定义的内容，不是公式排版。读一段量词密集的证明时，先写出每个对象的论域与依赖顺序，再检查反例是否在同一论域内。

参考资料与相关词条

• MIT 6.042J：谓词逻辑与量词讲义。
• 相关：命题逻辑的语义、全称量词与存在量词、极限。