命题逻辑的语义

命题逻辑的语义研究一个由“真”或“假”构成的陈述，在给定基本命题的真假后，复合命题究竟何时为真。它不负责判断“今天下雨”在现实中是否为真；它规定一旦知道这些基本事实，含有“且”“或”“若……则……”的句子怎样取值。

从两句话到真值表

令 $P$ 表示“今天下雨”，$Q$ 表示“我带了伞”。“下雨且带伞”写成 $P\wedge Q$，只有两件事都发生才真；“下雨或带伞”写成 $P\vee Q$，这里的“或”包含两件事都发生。$P\to Q$ 表示“如果下雨，那么带伞”。这个条件句只在下雨却没带伞时被反驳。

$P$	$Q$	$P\wedge Q$	$P\vee Q$	$P\to Q$
真	真	真	真	真
真	假	假	真	假
假	真	假	真	真
假	假	假	假	真

末行的条件句为真容易让人不适应：原句只承诺“下雨时会带伞”，它没有承诺没下雨时的行为。按定义，$P\to Q$ 与 $\mathrm{\neg }P\vee Q$ 在四行中逐行同值；这就是实质蕴涵，不能把它误作现实中的因果关系。

有效推理和逆命题

一个推理有效，指不存在“所有前提为真而结论为假”的赋值。例如前提 $P\to Q$ 与 $P$ 同时真时，表中只可能落在第一行，因此 $Q$ 真；这叫肯定前件。若只知道 $Q$ 真，就不能推出 $P$ 真，因为第三行提供反例：没有下雨也可能带伞。真值表检验的是形式，前提在现实中是否成立仍须另查。

任意两式在每个赋值下同值，称为逻辑等价。$\mathrm{\neg }(P\wedge Q)\equiv \mathrm{\neg }P\vee \mathrm{\neg }Q$ 可逐行核对；德摩根律再把它与集合运算对应起来。含 $n$ 个基本命题的全真值表有 $2^n$ 行；句子涉及对象和“所有”“存在”时，则需进入谓词逻辑与量词嵌套，不能再把量词当普通命题字母。

参考资料与相关词条

• MIT 6.042J《命题》课程讲义。
• 相关：数学命题、逻辑、德摩根律、谓词逻辑与量词嵌套。