折线图

折线图（line chart）把按顺序排列的观测点用线段连接，用来显示一个量随时间或其他有序数值怎样变化。点的位置表示观测，连线帮助追踪相邻点之间的变化；连接部分是否能当作中间时刻的数值，还需要另外说明。

四次读数，横轴不能等距摆放

设一个容器可能进水也可能排水，记录开始后 $0, 1, 3, 6$ 分钟的液体体积。下面是合成教学数据，用于比较时间间隔、变化率和连线方式，并非真实测量记录。

开始后时间 $t$ （分钟）	体积 $V$ （升）
0	100
1	120
3	150
6	180

先把四行放成 $(0, 100), (1, 120), (3, 150), (6, 180)$ ，再按时间从早到晚连接。相邻观测间隔分别是一、二、三分钟，因此横向距离也应为 $1 : 2 : 3$ 。若把四次读数当作四个等距类别，就会把最后三分钟画得与最初一分钟一样短，改变读者对快慢的判断。

横轴为零到六分钟，纵轴为八十到二百升；四个点分别为零一百、一一百二十、三一百五十、六一百八十，横向间距为一比二比三 — 圆点表示观测时刻。辅助直角折线标出第二段的两分钟与三十升，便于计算斜率。

图中纵轴从八十升开始，目的是看清这组读数的变化，不代表容器在八十升处才有“零体积”。折线依靠坐标定位，不像条形图靠从基线起算的长度表示数量；可以选取合适显示范围，但不能省略刻度或让读者误解起点。英国国家统计局：坐标轴范围

对于少量观测或不规则时间间隔，保留点标记尤其有用：它让读者知道哪里有实际读数、哪里只有连接。英国国家统计局的折线图指南也以点标记区分不规则观测。英国国家统计局：Line chart

变化了多少，与变化得多快

从一分钟到三分钟，体积增加 $Δ V = 150 - 120 = 30 L .$ 这三十升发生在两分钟内，所以平均变化率是 $\frac{Δ V}{Δ t} = \frac{150 - 120}{3 - 1} = 15 L / m i n .$ 图中横向辅助段长两分钟，竖向辅助段高三十升，二者相除就是这段连线的斜率。单位是升每分钟，不是升，也不是无单位的角度。

同样计算其余两段：

时间段（分钟）	$Δ t$ （分钟）	$Δ V$ （升）	平均变化率（升/分钟）	相对初值的增幅
0 至 1	1	20	20	$20 / 100 = 20 %$
1 至 3	2	30	15	$30 / 120 = 25 %$
3 至 6	3	30	10	$30 / 150 = 20 %$

后两段都增加三十升，但分别用了两分钟和三分钟，后一段平均增加得更慢。虽然四个观测值始终上升，三段平均变化率却从二十降到十五再降到十。“数值在增长”和“增长越来越快”是不同陈述。

整个六分钟的平均变化率为 $\frac{180 - 100}{6 - 0} = \frac{80}{6} \approx 13.33 L / m i n .$ 它也等于按时间长度加权的平均： $\frac{20 \times 1 + 15 \times 2 + 10 \times 3}{1 + 2 + 3} = \frac{80}{6} .$ 直接把三个变化率等权平均成十五，会忽略它们各自持续多久。

相对增幅还需要说明基数与期间

相对变化以开始值为基数： $g = \frac{V_{b} - V_{a}}{V_{a}}, V_{a} \neq 0.$ 本例从一到三分钟增长百分之二十五，从零到一分钟增长百分之二十。但前者用了两分钟，不能只因 $25 % > 20 %$ 就说它增长更快。

若希望把一至三分钟的总变化折算为每分钟相同的相对增速 $q$ ，需解 $120 (1 + q)^{2} = 150, q = \sqrt{1.25} - 1 \approx 11.80 % .$ 这是等效每分钟增速，并未证明容器每一分钟都按同一比例变化。全段从一百到一百八十升，累计增幅为 $80 %$ ；也可核对三段倍率相乘为 $1.20 \times 1.25 \times 1.20 = 1.80$ ，不能把三个百分比直接相加。

相对增幅适用于具有相应基数意义的量。本例零升表示没有液体；摄氏温度从十度到二十度，却不能据此说热的程度“翻倍”。基数为零时普通相对变化公式无定义，基数为负时也需结合量的含义解释。

连接两个点，增加了什么假设

在一至三分钟之间画一条直线，相当于提供了一个分段线性插值：在两个读数之间，按固定斜率连接。对这一段， $\hat{V} (t) = 120 + \frac{150 - 120}{3 - 1} (t - 1) = 120 + 15 (t - 1), 1 \leq t \leq 3.$ 代入 $t = 1$ 和 $t = 3$ 分别得到一百二十、一百五十，说明线段经过端点。代入 $t = 2$ 得到一百三十五升，含义是按这条连接线估计的中间值，不是新增了一次两分钟时的测量。

一般地，两个不同时间 $t_{a} < t_{b}$ 的分段线性连接为 $\hat{V} (t) = V_{a} + \frac{V_{b} - V_{a}}{t_{b} - t_{a}} (t - t_{a}), t_{a} \leq t \leq t_{b} .$ 这由“起点数值加上斜率乘经过时间”得到，也是分段线性插值的定义。Driscoll 与 Braun：Piecewise linear interpolation

把线段延伸到六分钟以后则属于外推。最后一段斜率是十升每分钟，并不能仅凭它确认七分钟时有一百九十升；容器的进出水条件可能改变，甚至受容量限制。是否延伸需要物理信息或其他模型支持。

同一组点，可以连成不同的曲线

曲线图常指用曲线显示函数、趋势或连接观测点的图。它不是把折线的棱角抹圆这么简单：一旦读取曲线上未观测时刻的值，就选择了一种插值或模型。

仍使用原来的四个点。若要求连接函数是三次或更低次多项式，设 $p (t) = a + b t + c t^{2} + d t^{3} .$ 由 $p (0) = 100$ 得 $a = 100$ 。其他三个点给出 $b + c + d = 20, 3 b + 9 c + 27 d = 50, 6 b + 36 c + 216 d = 80.$ 第二式减去第一式的三倍，再除以二，得到 $3 c + 12 d = - 5$ ；第三式减去第一式的六倍，再除以十，得到 $3 c + 21 d = - 4$ 。两式相减可得 $d = 1 / 9$ ，随后 $c = - 19 / 9, b = 22$ ，所以 $p (t) = 100 + 22 t - \frac{19}{9} t^{2} + \frac{1}{9} t^{3} .$ 这里 $t$ 取以分钟计的数值，函数输出以升计的数值；各系数的量纲与相应时间次幂匹配。多项式次数限制是新加的选择，并不是四个读数自带的事实。Driscoll 与 Braun：Polynomial interpolation

还可以构造另一条光滑曲线 $q (t) = p (t) + t (t - 1) (t - 3) (t - 6) .$ 此式同样约定输入输出使用上述数值单位，新增项的系数对应升每四次方分钟。在四个观测时刻，新增乘积总有一个因子为零，所以 $q$ 也穿过全部四个点；在其他时刻，它通常与 $p$ 不同。

同样四个观测点既可由直线段连接，也可由光滑曲线q连接；曲线在三到六分钟之间先下降再上升，两个方案在观测点处完全相同 — 实线为分段线性连接，虚线为文中明确给出的 q。后者中途的起伏来自所选函数，不是新增观测。

例如两分钟时，分段直线给出 $135$ 升，而 $p (2) = \frac{1228}{9}, q (2) = \frac{1228}{9} + 2 (1) (- 1) (- 4) = \frac{1300}{9} \approx 144.44.$ 图中的光滑曲线还在后三分钟内发生下降。四个读数本身排除不了中途先排水再进水；若另外已知这期间只进不出，就应加入单调性条件，排除这样的曲线。这说明假设必须来自问题，不能由“曲线更漂亮”代替。

平滑与插值也不是同一回事

插值要求经过给定点；平滑通常试图降低局部波动，可以不经过每个点。例如把前三次读数做简单平均，得到 $(100 + 120 + 150) / 3 \approx 123.33$ 升，它不等于其中任一原读数。如果用这种结果画趋势，应保留原始点并说明平均窗口和放置时间。

本例时间间隔不相等，“每三条记录取平均”也不自动等于“每三分钟的平均体积”。要表示固定时间窗内的平均，还需定义覆盖范围、权重和对未观测部分的处理。平滑曲线适合呈现所选方法下的趋势，不能被重新标成未经处理的观测。

缺测处为什么要留出空白

前面的观测计划本来只有零、一、三、六分钟。现在考虑另一种记录情况：设备还计划在两分钟读取一次，但那次记录丢失。已经知道“应当有一次观测而没有得到它”，应在资料中标记缺测，并在跨越缺测处的线段留出间断。

仍显示零一百、一一百二十、三一百五十、六一百八十这四个已知点，一至三分钟之间不连线，顶部注明两分钟体积未知 — 两分钟处没有数据点，也没有画成零；缺口使缺测信息不会被一条连续线掩盖。

零体积是一个明确数值，缺测则是不知道，两者不能互换。若分析必须填补缺测，可以单独给出插补方法、估计点和不确定性标记；例如分段线性插补仍会得到一百三十五升，但它的身份应是估计。英国国家统计局建议在原本规律的数据出现缺测时保留线段缺口。英国国家统计局：Irregular and missing data

缺测与采样稀疏也有区别。只在六个小时的两端测量，即使两端相同，也不能判断中间始终不变；是否曾出现峰值需要更密的观测或机制信息。连线不会替人完成这些观测。

怎样选择连线与比较对象

时间应按真实先后排列；不能为了让线更顺而按数值大小重新排序。若横轴是没有连续顺序的城市或品牌，把类别任意连接会制造“途中上升下降”的印象，通常更适合条形图。若横纵轴是成对数值而不要求顺序，应考虑散点图。

当变量在明确事件时跳变、其间保持不变时，阶梯线可能比斜线更符合定义，例如已公布价格只在调价时改变。反之，容器体积是否连续变化取决于过程和时间尺度，不能只因为绘图软件提供某种线型就选用它。

比较多个系列时，保持单位和时间基准一致，并用线型或点形补充颜色。图框拉高会让线显得更陡，改变纵轴范围也会放大视觉起伏；数学变化率仍应由标注的数值与时间计算。若一个系列是体积、另一个是流量，它们连单位都不同，应先解释联系，再选择分图或适当变换，不从两条线碰巧交叉推出两种量相等。

参考资料

英国国家统计局，Line chart：时间趋势、点标记、缺测与阶梯线。
英国国家统计局，Axes and gridlines：坐标范围与一致尺度。
Driscoll 与 Braun，Fundamentals of Numerical Computation：Piecewise linear interpolation：相邻点之间的线性插值。
同教材：Polynomial interpolation：次数约束下的插值问题。
相关：统计图、散点图、函数、导数、数学建模、最小二乘法。