抽样分布

抽样分布是统计量在重复抽样中的概率分布。一次样本给一个具体数值；若在同样抽样机制下重新取样，样本均值、样本方差等统计量会变动。描述这种变动的分布，才是置信区间和误差估计的基础。它不同于原始观测值的总体分布。

两枚硬币的完整枚举

从正面概率为 $1/2$ 的独立抛币中取 $n=2$ 个 0/1 观测，样本均值 ${\overline{X}}_2$ 可能是 0、1/2、1；相应概率为 $1/4,1/2,1/4$。原始单次观测只取 0 或 1，其分布与样本均值分布显然不同。由枚举可算 $E[{\overline{X}}_2]=1/2$，方差为 $1/8$，恰是单次伯努利方差 $1/4$ 除以 2。

对 i.i.d. 有限方差观测，$E[{\overline{X}}_n]=\mu$、$\mathrm{Var}({\overline{X}}_n)={\sigma }^2/n$。当样本量增大，分布通常集中到 $\mu$ 附近；中心极限定理还给出标准化后的近似形状。但小样本的抽样分布未必正态，上述硬币例子就是离散的三个点。

机制必须固定

抽样分布假设重复抽样使用同一规则。若样本来自便利抽样而非目标总体的随机机制，即使计算出很小的标准误，也只能描述该机制下的波动，不能自动代表目标总体。自助法从现有样本近似抽样分布，同样依赖原样本能否代表目标。

参考资料

• OpenStax，Introductory Statistics 2e，Sampling Distributions。
• MIT 18.05，概率统计课堂讲义。
• 继续阅读：样本均值、中心极限定理、自助法。