样本方差

样本方差量化样本围绕样本均值的离散程度。对于 $n\ge 2$ 个数据，常用的无偏形式为 $$s^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2.$$ 数据 1、2、3 的均值是 2，离差平方和为 $1+0+1=2$，所以 $s^2=2/(3-1)=1$。若将这三个数视为整个总体，总体方差的分母则是 3；两种问题不能混用。

分母为何是 n−1

设 $X_i$ 独立同分布，均值 $\mu$、方差 ${\sigma }^2<\mathrm{\infty }$。由恒等式 $$\sum (X_i-\overline{X}{)}^2=\sum (X_i-\mu {)}^2-n(\overline{X}-\mu {)}^2,$$ 两侧取期望。第一项的期望是 $n{\sigma }^2$，第二项的期望是 $n\mathrm{Var}(\overline{X})={\sigma }^2$，所以离差平方和期望是 $(n-1){\sigma }^2$。除以 $n-1$ 才有 $E[s^2]={\sigma }^2$。样本均值已从数据估计出一个参数，导致离差满足 $\sum (X_i-\overline{X})=0$，只剩 $n-1$ 个自由变化方向。

无偏的是 $s^2$ 对总体方差的估计；开根号后的 $s$ 一般并非总体标准差的无偏估计。若样本之间相关，上面的期望计算也需重审。

参考资料

• OpenStax，Introductory Statistics 2e，Measures of the Spread of the Data。
• MIT 18.05，概率统计课堂讲义。
• 继续阅读：样本均值、方差、抽样分布。