拉丁方

拉丁方（Latin square）是一个 $n \times n$ 方阵，使用 $n$ 种符号，并使每种符号在每行、每列中都恰好出现一次。 $n$ 称为阶数。它约束的是行列中的出现次数，符号可以是数字、字母或处理方案，不要求作普通数值运算。

例如，三种处理编号为零、一、二，安排在三个位置与三个时段的交叉表中，可以使用 $L = (\begin{matrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{matrix}) .$ 每个位置一行、每个时段一列，每种处理在每个位置及每个时段各出现一次。这样的均衡安排有助于把两个分组因素与处理区分，但它不自动消除所有交互作用，也不代替随机化和数据分析。

定义与循环构造

设符号集合为 $S$ 、 $| S | = n \geq 1$ 。方阵 $L = (L_{i j})$ 为拉丁方，当且仅当对每个固定的行 $i$ ，映射 $j \mapsto L_{i j}$ 是从列指标到 $S$ 的双射；对每个固定的列 $j$ ，映射 $i \mapsto L_{i j}$ 也为双射。

任何正整数阶数都存在拉丁方。取行列与符号都用 $0, \dots, n - 1$ 标号，定义 $L_{i j} = i + j (\mod n) .$ 证明。 在同一行内，若 $i + j_{1} \equiv i + j_{2} (\mod n)$ ，减去 $i$ 得 $j_{1} \equiv j_{2}$ ；指标都在 $0, \dots, n - 1$ 内，因而相等。该行 $n$ 个值互异，正好穷尽全部符号。固定列时同理。这个证明只使用模加法，不需要 $n$ 为素数。

三阶循环拉丁方的每行由上一行循环平移，三种符号用数字和不同颜色同时标识 — 每行与每列都包含 0、1、2 各一次。相邻行循环平移，是这一种构造的特点，不是所有拉丁方的额外定义。

单独检查各行还不够。例如 $(\begin{matrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{matrix})$ 每行仍是三种符号的排列，但第一列出现两个零，第二列也出现重复，故不是拉丁方。定义必须同时控制两种方向。

行、列和符号的重新标号

对一个拉丁方任意交换行、任意交换列，或对全表统一重新命名符号，仍得到拉丁方。交换整行不改变任何行内的符号集合，也只是重新排列各列的元素；另两种操作可用同样方式核对。这些操作称为拉丁方的同位变换的一部分，常用于把第一行和第一列整理成指定顺序。

重新标号必须一致地作用到全表。同一个符号若在不同格里被改成不同的新符号，就可能破坏列约束。不同拉丁方也未必都能通过这三类操作相互转换；循环加法表提供了存在性构造，而非所有拉丁方的分类。

两张表的正交性

两张同阶拉丁方 $L, M$ 称为正交，若把对应格的符号配成有序对 $(L_{i j}, M_{i j})$ 后，全部 $n^{2}$ 种有序对恰出现一次。

在三阶例子中，取 $M_{i j} = i + 2 j (\mod 3), M = (\begin{matrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \end{matrix}) .$ 固定行时，乘二是模三符号的一个排列；固定列时，随 $i$ 增加也是排列，因此 $M$ 是拉丁方。进一步，若某格的有序对为 $(a, b)$ ，方程 $i + j \equiv a, i + 2 j \equiv b (\mod 3)$ 相减得 $j \equiv b - a$ ，再得 $i \equiv 2 a - b$ 。行列被唯一确定，所以每个有序对恰出现一次，证明两方正交。^[1]

三阶拉丁方L与M叠加后九个格子分别包含九种不同有序对 — 例如有序对 (2,1) 解得 j=2、i=0，正好对应第一行第三列。正交要求整张表中所有有序对互异，比每张表分别满足行列约束更强。

变式。 对四阶尝试 $M_{i j} = i + 2 j (\mod 4)$ 会失败：第一行是 $0, 2, 0, 2$ ，已经不是拉丁方。失败原因是二在模四下不可逆。它否定的是这个特定公式，不能推出“四阶没有正交拉丁方”；其他构造需要另行分析。

在素数 $p$ 下，公式 $L_{i j}^{(a)} = i + a j (\mod p)$ 对每个非零 $a$ 都给出拉丁方。若 $a \neq b$ ，两个输出相减得到 $(a - b) j$ ；非零数在模素数中可逆，所以两个输出唯一确定格子。这样得到 $p - 1$ 张两两正交的拉丁方。它是一个明确的素数阶构造，不应把同样的除法步骤直接搬到合数模数中。

生成与检验

以下代码使用符号 $0, \dots, n - 1$ ，生成循环拉丁方，并独立按定义检查行、列的符号集合。函数不修改输入矩阵。

Python 3

def cyclic_latin(order):
    if type(order) is not int or order < 1:
        raise ValueError("order must be a positive integer")
    return [[(row + column) % order for column in range(order)]
            for row in range(order)]


def is_latin(square):
    rows = [tuple(row) for row in square]
    n = len(rows)
    if n == 0 or any(len(row) != n for row in rows):
        return False
    if any(type(x) is not int or not 0 <= x < n
           for row in rows for x in row):
        return False
    symbols = set(range(n))
    return (all(set(row) == symbols for row in rows)
            and all({rows[i][j] for i in range(n)} == symbols
                    for j in range(n)))


print(cyclic_latin(3))
print(is_latin(cyclic_latin(3)))
print(is_latin([[0, 1, 2], [1, 2, 0], [0, 2, 1]]))
# [[0, 1, 2], [1, 2, 0], [2, 0, 1]]
# True
# False

每行和每列均被完整检查；一个含 $n$ 个合法符号的行集合等于全部符号，当且仅当每种恰出现一次。因而代码不是只比较行列和，而是直接检查定义。生成和检验均需 $O (n^{2})$ 次基本操作；生成结果或检验时复制的输入占 $O (n^{2})$ 空间。只检查和为 $n (n - 1) / 2$ 不够，因为重复符号也可能凑出相同的和。

试验安排的数学含义

把行看成地点、列看成时段、格内符号看成处理，拉丁方保证各处理在每一地点、每一时段都出现一次。这是一种精确的组合均衡。若进一步建立“观测值等于总体均值、行效应、列效应、处理效应与误差之和”的加性统计模型，仍须说明误差与交互作用的假设，并合理随机化地点、时段和处理标号。

数独的完成盘还要求每个指定小宫格中符号不重复，所以它是在拉丁方约束上增加了限制。一般拉丁方不必满足宫格条件；相反，满足全部数独规则的盘面一定是相应阶数的拉丁方。

参考资料

↑ Andries E. Brouwer：Orthogonal Arrays，Eindhoven University of Technology，关于强度二、指数一的正交表与拉丁方、互相正交拉丁方的对应。该页把试验放在列，本文按通常的拉丁方行列布局解释，并在正交表中改用试验为行的约定。访问日期：2026年10月25日。

[brouwer-1] Andries E. Brouwer：Orthogonal Arrays，Eindhoven University of Technology，关于强度二、指数一的正交表与拉丁方、互相正交拉丁方的对应。该页把试验放在列，本文按通常的拉丁方行列布局解释，并在正交表中改用试验为行的约定。访问日期：2026年10月25日。

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拉丁方