正交表

正交表（orthogonal array）是一种按指定强度精确均衡因素组合的表格。把每次试验排成一行、每个因素排成一列，在任意指定数量的列中，各种水平组合都出现同样多次。这种均衡可用于试验设计，也能用来构造具有低阶独立性的有限随机样本。

例如，下表每列取零、一两个水平： $$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right).$$ 任选两列，$00,01,10,11$ 都恰出现一次。但三列只出现四种组合，而非全部八种；两两均衡与三因素均衡是不同要求。

参数与强度

本文用 $\mathrm{OA}(N,k,s,t)$ 表示一个 $N\times k$ 表，元素取自 $s$ 个水平，满足 $1\le t\le k$、$s\ge 2$。对任意 $t$ 列，全部 $s^t$ 种有序水平组合都恰出现 $\lambda$ 次。其中 $$N=\lambda s^t$$ 且 $\lambda$ 为正整数，称为指数。各文献参数顺序、行列约定有所不同，比较设计时应先核对“试验是一行还是一列”。

上面的表是 $\mathrm{OA}(4,3,2,2)$，指数一。固定前两列，它们已经列出全部二位组合；对第一、三列及第二、三列逐一计数也得到同样结果。第三列实际是前两列的异或，这给出一个可直接复核的构造。

强度二要求三个二列投影都均衡，不能只检查最左边两列。

低阶边缘仍然均衡

若表的强度为 $t$，则任取 $r\le t$ 列及一种固定的 $r$ 元组合，也会出现 $$\lambda s^{t-r}=\frac{N}{s^r}$$ 次。证明。 将这 $r$ 列扩充成某 $t$ 列。其余 $t-r$ 列共有 $s^{t-r}$ 种组合，每种与固定的 $r$ 元组合配对后都出现 $\lambda$ 次，逐项相加即可。

所以强度二自动使每个单因素均衡，反过来却不成立。两行 $000$ 与 $111$ 的每列都零一各一次，但任意两列只有 $00,11$，缺少另外两种组合。

两两独立而不相互独立

从正交表的 $N$ 行中等概率随机选一行，把第 $j$ 列的值记为随机变量 $X_j$。任取 $t$ 列，其某种组合出现概率为 $$\frac{\lambda }{N}=\frac{1}{s^t}.$$ 各列单独均匀取 $s$ 个水平，联合概率等于各自概率乘积，因此任意不超过 $t$ 个不同因素相互独立。这是有限表格中的精确概率陈述，不需要近似抽样。

在四行三列表中，$X_3=X_1\oplus X_2$。因此任意两变量独立，但给定前两变量就完全确定第三变量。例如 $$\mathbb{P}(X_1=X_2=X_3=0)=\frac{1}{4},$$ 而三列若相互独立，该概率应为 $1/8$。正交强度的意义正是明确可保证的联合阶数。

二水平编码与正交性

把零编码为 $-1$、一编码为 $1$，将上述表的三列记为 $c_1,c_2,c_3\in {ℝ}^4$，再增加全一截距列 $c_0$。每个因素均衡，故 $c_0^{𝖳}{c}_j=0$；每对因素四种组合各一次，所以其乘积有两次 $1$、两次 $-1$，从而 $c_i^{𝖳}{c}_j=0$。

各列平方长度都是四。令 $X=(c_0,c_1,c_2,c_3)$，便得到 $$X^{𝖳}X=4I_4.$$ 这说明在只含截距与三个主效应的线性模型中，各列在代数上正交。它不意味着所有交互作用都能单独估计。本例在负一、一编码下 $c_3=-c_1{c}_2$（右侧逐元素相乘），第三主效应列与前两因素交互作用列只差符号，二者在该表上混杂，无法同时辨认。

正交可由列内积检查；同时 c₃=−c₁c₂ 显示一个具体的交互作用混杂。主效应均衡不是能识别任意复杂模型的保证。

变式。 能否只用四次试验，给四个二水平因素构造强度二正交表？若能，其四个均衡编码列加截距列会是 ${ℝ}^4$ 中五个非零且两两正交的向量。非零正交向量必线性无关，而四维空间最多有四个，矛盾。因此不能；单有整除条件 $4=1\times 2^2$ 并不足以保证任意列数都可实现。

拉丁方与三因素构造

对一个 $s$ 阶拉丁方，逐格记录“行号、列号、符号”，得到 $s^2$ 行、三列的表。行号与列号的组合自然各出现一次；固定行号和符号，由拉丁性质唯一确定列号；固定列号和符号也唯一确定行号。故得到 $\mathrm{OA}(s^2,3,s,2)$。

反过来，若有指数一的这类表，以前两列作为行号、列号，第三列填符号，二列投影均衡恰好保证每行每列不重复。这个双向构造把“一个方阵”与“一张试验清单”对应起来，不能把两种表格的行列数直接混写。

定义检验程序

下面按定义枚举列组合、计数每种投影。输入为至少一行等长试验，每个水平必须是 $0,\dots ,s-1$ 的整数；不修改原表。

Python 3

from collections import Counter
from itertools import combinations


def orthogonal_index(array, levels, strength):
    rows = [tuple(row) for row in array]
    if type(levels) is not int or levels < 2 or not rows:
        raise ValueError("Need rows and at least two levels")
    width = len(rows[0])
    if (type(strength) is not int or not 1 <= strength <= width
            or any(len(row) != width for row in rows)):
        raise ValueError("Invalid dimensions or strength")
    if any(type(x) is not int or not 0 <= x < levels
           for row in rows for x in row):
        raise ValueError("Invalid level")
    target, remainder = divmod(len(rows), levels ** strength)
    if remainder or target == 0:
        return None
    for columns in combinations(range(width), strength):
        counts = Counter(tuple(row[j] for j in columns) for row in rows)
        if len(counts) != levels ** strength:
            return None
        if any(count != target for count in counts.values()):
            return None
    return target


print(orthogonal_index([[0, 0, 0], [0, 1, 1],
                        [1, 0, 1], [1, 1, 0]], 2, 2))
print(orthogonal_index([[0, 0, 0], [1, 1, 1]], 2, 2))
# 1
# None

只要每组列投影有全部 $s^t$ 种不同组合、每种频数都为同一正整数，便恰好满足定义；任何缺失或频数不等都使程序返回 None。按散列表平均时间计，检查所有投影需 $O\left((\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{t})Nt\right)$ 次基本操作；复制输入需 $O(Nk)$ 空间，单次投影计数至多保存 $N$ 个长度 $t$ 的键。

覆盖数组只要求每种指定组合至少出现一次，不要求频数相等。在测试问题中，这种放宽可允许更多因素使用较少的试验行；是否需要均衡，应由试验分析目标而非表名决定。