极小曲面

极小曲面（minimal surface）是在光滑正则部分平均曲率为零的曲面；等价地，在保持边界的紧支撑光滑变形下，其面积的一阶变化为零。名称中的“极小”首先指面积的驻定性质。是否在某类竞争曲面中真正取得最小面积，还取决于允许的变形、边界和拓扑。

平面是最简单的极小曲面。若把曲面写成图形 $z=u(x,y)$，面积不再只是平面区域面积，而要按局部倾斜程度放大。这个面积公式可以直接导出极小曲面方程。

图形曲面的面积

令 $\Omega \subset {ℝ}^2$ 为有界连通区域，边界足够光滑，$u\in C^2(\bar{\Omega })$。参数化 $$X(x,y)=(x,y,u(x,y))$$ 的两条切向量为 $X_x=(1,0,u_x)$、$X_y=(0,1,u_y)$。它们的叉积长度为 $\sqrt{1+u_x^2+u_y^2}$，故面积为 $$A(u)={\int }_{\Omega }\sqrt{1+|\mathrm{\nabla }u{|}^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$ 例如在单位正方形上取 $u=2x+y$，面积恒为 $\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}$。倾斜平面的平均曲率仍为零；面积比底面大并不妨碍它在指定边界下驻定。

网格为三维投影示意。实际面积由切向量叉积计算，不能直接用投影图上的像素面积代替。

面积的一阶变化与方程

取在边界为零的光滑函数 $\phi$，把图形改为 $u+\epsilon \phi$。对面积关于 $\epsilon$ 求导，在零处得到 $${\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\epsilon }A(u+\epsilon \phi )|}_{\epsilon =0}={\int }_{\Omega }\frac{\mathrm{\nabla }u\cdot \mathrm{\nabla }\phi }{\sqrt{1+|\mathrm{\nabla }u{|}^2}}.$$ 对右侧分部积分，边界项因 $\phi =0$ 消失，所以驻定条件为 $$\mathrm{div}\left(\frac{\mathrm{\nabla }u}{\sqrt{1+|\mathrm{\nabla }u{|}^2}}\right)=0.$$ 若被积系数在某个内点不为零，可选择支撑在该点小邻域内、符号适当的 $\phi$ 使一阶变化不为零，故驻定确实要求方程逐点成立。

展开偏导数，乘以正的分母后，得到常用形式 $$\begin{array}{cc}& (1+u_y^2)u_{xx}-2u_x{u}_y{u}_{xy}\\ & +(1+u_x^2)u_{yy}=0.\end{array}$$ 这就是极小曲面方程。其非线性来自斜率对面积元和法向的影响。面积第一变分与平均曲率之间的关系，是极小曲面理论的起点。

固定边界下图形的最小性

在上述光滑图形范围内，驻定还能给出最小性。函数 $$F(p)=\sqrt{1+|p{|}^2}$$ 对梯度变量 $p\in {ℝ}^2$ 严格凸，因此 $$F(q)\ge F(p)+\mathrm{\nabla }F(p)\cdot (q-p).$$ 设 $w\in C^2(\bar{\Omega })$ 与 $u$ 具有相同边界值，把 $p=\mathrm{\nabla }u$、$q=\mathrm{\nabla }w$ 代入并积分： $$A(w)-A(u)\ge {\int }_{\Omega }\frac{\mathrm{\nabla }u\cdot \mathrm{\nabla }(w-u)}{\sqrt{1+|\mathrm{\nabla }u{|}^2}}=0.$$ 最后一步使用极小曲面方程及零边界差。因此光滑解在这一固定区域、固定边界值的图形类中达到最小面积。严格凸性还说明等号要求梯度相同；区域连通且边界值相同便给出 $w=u$。

这个证明的比较对象明确是图形。将结论直接扩大到所有拓扑类型、所有参数曲面，便超出了论证范围。

悬链面的轮廓与面积

绕竖轴旋转半径函数 $r(z)>0$，所得曲面的面积是 $$2\pi \int r(z)\sqrt{1+r^{\prime }(z{)}^2}\mathrm{d}z.$$ 被积函数不显含 $z$，驻定方程的一个第一积分为 $$\frac{r}{\sqrt{1+r{\text{'}}^2}}=a,a>0.$$ 分离变量得到一个对称解 $$r(z)=a\cosh (z/a).$$ 它绕轴旋转所得的悬链面，也称旋转悬链面，是极小曲面。直接验证时， $$r{r}^{″}={\cosh }^2(z/a)=1+{\sinh }^2(z/a)=1+r{\text{'}}^2,$$ 正好满足旋转曲面的零平均曲率方程。腰部半径为 $a$，离开腰部后半径逐渐增大。

图示a等于一、z在负一至一之间的轴截面。将轮廓绕竖轴旋转可得到整个曲面。

取 $a=1$、$-1\le z\le 1$，两个边界圆半径都为 $R=\cosh 1$。悬链面面积为 $$A_{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{t}}=2\pi (1+\frac{\sinh 2}{2})\approx \mathrm{17.68.}$$ 若允许竞争曲面由两个分别填满边界圆的平圆盘组成，则面积为 $$A_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{s}}=2\pi {\cosh }^{2}1\approx \mathrm{14.96.}$$ 二者具有相同的两条边界圆，而圆盘并集面积更小。这给出零平均曲率不保证在这一扩大后的竞争类中全局最小的具体反例；两圆盘的拓扑与连通性也和悬链面不同。

若把腰部参数改为 $a=2$ 并把截断高度也改为 $|z|\le 2$，全部长度放大两倍，面积放大四倍。因此两个面积分别成为原来的四倍，比较方向保持不变。这一变式同时检查了曲面面积的尺度规律。

小斜率近似与边界

若 $|\mathrm{\nabla }u|$ 很小，极小曲面方程的一阶近似为 $\Delta u=0$；相应面积近似为 $$A(u)\approx |\Omega |+\frac{1}{2}{\int }_{\Omega }|\mathrm{\nabla }u{|}^2.$$ 这个近似有小斜率前提。调和函数 $u=x^2-y^2$ 虽满足 $u_{xx}+u_{yy}=0$，代入完整方程的左侧却得到 $8(y^2-x^2)$，一般不为零。因此调和性本身不足以保证图形是极小曲面。

一般极小曲面还涉及稳定性、曲率估计、边界正则性与Plateau问题。这里的图形推导和旋转例子提供可复算的基础；更广的存在性与正则性结论需分别说明曲面类别和假设。平均曲率流则研究曲面按平均曲率向量随时间演化，极小曲面对应其光滑的驻定情形。