平均曲率流

平均曲率流（mean curvature flow）是一种曲面演化：曲面各点沿法向移动，速度等于平均曲率向量。凸球面上的运动指向球心，半径逐渐缩小。曲率越大的位置局部运动越快，但一般曲面可能形成奇点，不能仅从球面的规则收缩推断所有曲面的长期行为。

下文讨论欧氏三维空间中的光滑曲面。取外法向 $\nu$，并以 $$H={\mathrm{div}}_S\nu ={\kappa }_1+{\kappa }_2$$ 表示主曲率之和，球面上为正。有些教材将平均曲率定义为两主曲率的平均；若使用该记号，演化方程中的系数须相应调整。

演化方程与法向速度

令 $X(p,t)$ 参数化曲面 $S_t$，其中 $p$ 只用来标识曲面上的参数点。在本文约定下， $${\partial }_{t}X=-H\nu .$$ 加入纯切向速度会重新分配参数点，而不改变同一时刻的几何曲面；真正决定形状变化的是法向分量。曲率的号和法向的号应成对使用，使曲率向量保持一致。标准定义、球面闭式解及奇点示例见Haslhofer的讲义。

极小曲面满足 $H=0$，因而在光滑曲率流下驻定。对有边界曲面，边界怎样运动也属于问题的数据；下述整体面积公式先取紧致、无边界的情形。

球面收缩的完整计算

若曲面始终是半径 $R(t)>0$ 的球面，两主曲率均为 $1/R$，所以 $$\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}t}=-\frac{2}{R}.$$ 将两侧乘以 $2R$，得到 $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{R}^2=-4.$$ 若 $R(0)=R_0$，则 $$R(t)=\sqrt{R_0^2-4t},0\le t<T=\frac{R_0^2}{4}.$$ 终止时间来自根号内变为零。曲率 $2/R(t)$ 在 $t\uparrow T$ 时发散，这说明该时刻出现经典光滑解的奇点。

图中圆圈是三维球面的平面截面。计算采用球面的两条主曲率，而不是平面曲线只有一条曲率的演化。

例如 $R_0=2$ 时，奇点时间为一。在 $t=1/4$、$3/4$ 时，半径分别为 $\sqrt{3}$ 和一。面积与体积为 $$\begin{array}{cc}A(t)& =4\pi R(t{)}^2=16\pi (1-t),\\ V(t)& =\frac{4\pi }{3}(4-4t{)}^{3/2}.\end{array}$$ 面积线性下降，半径却按平方根变化。体积也在下降；普通平均曲率流没有体积守恒约束。

若初始半径由二改为四，终止时间从一变为四。一般将空间长度放大 $\lambda >0$ 倍，时间也须放大 ${\lambda }^2$ 倍，才能保持曲率流方程的形式。半径翻倍而终止时间翻四倍，正是这一尺度关系的检验。

面积递减公式

设曲面以一般法向速度 ${\partial }_{t}X=f\nu$ 运动，局部诱导度量为 $g_{ij}={\partial }_{i}X\cdot {\partial }_{j}X$。因法向与切向量正交， $${\partial }_t{g}_{ij}=2f{\partial }_i\nu \cdot {\partial }_{j}X.$$ 用行列式的求导公式，得到 $$\begin{array}{cc}{\partial }_t\sqrt{detg}& =\frac{1}{2}\sqrt{detg}{g}^{ij}{\partial }_t{g}_{ij}\\ & =fH\sqrt{detg}.\end{array}$$ 这里对重复指标求和，$H=g^{ij}{\partial }_i\nu \cdot {\partial }_{j}X$，与前面的外法向约定一致。取 $f=-H$ 并对紧致无边界曲面积分，便得 $$\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}=-{\int }_{S_t}{H}^2\mathrm{d}\mu \le 0.$$ 等号要求该时刻处处 $H=0$。这说明曲率流在相应的面积梯度度量下使面积递减，而不是只凭图上看起来更圆来判断。

球面上 $H^2=4/R^2$、$A=4\pi R^2$，所以积分恒为 $16\pi$，恰好核对了主例中 $A^{\prime }(t)=-16\pi$。若曲面有边界且边界也移动，整体第一变分还可能含有边界贡献，应另外指定边界条件。

纵轴标明半径比例与面积比例。终点仅表示极限，时间一时已不再有正半径的光滑球面。相同终止时间不代表两条量具有相同变化率。

图形形式及热方程近似

对局部图形 $z=u(x,y,t)$，选择向上的法向 $$\nu =\frac{(-u_x,-u_y,1)}{\sqrt{1+|\mathrm{\nabla }u{|}^2}}.$$ 在这个法向约定下，$H=-\mathrm{div}(\mathrm{\nabla }u/\sqrt{1+|\mathrm{\nabla }u{|}^2})$。图形参数化的竖直速度 $u_t$ 的法向分量是 $u_t/\sqrt{1+|\mathrm{\nabla }u{|}^2}$，故 $$u_t=\sqrt{1+|\mathrm{\nabla }u{|}^2}\mathrm{div}\left(\frac{\mathrm{\nabla }u}{\sqrt{1+|\mathrm{\nabla }u{|}^2}}\right).$$ 展开后为 $$\begin{array}{cc}{u}_t& =\frac{(1+u_y^2)u_{xx}-2u_x{u}_y{u}_{xy}}{1+u_x^2+u_y^2}\\ & +\frac{(1+u_x^2)u_{yy}}{1+u_x^2+u_y^2}.\end{array}$$ 小斜率时，主导部分近似为 $u_t\approx u_{xx}+u_{yy}$。完整方程仍依赖斜率，而且曲面可能无法一直表示为同一个坐标平面上的全局图形。

奇点与适用范围

球面已经说明了曲率流可在有限时间形成奇点。一般曲面还可能出现颈缩等局部现象；面积递减没有给出曲率始终有界的保证。进一步讨论跨越奇点的演化，需要水平集流、Brakke流等相应的弱解框架，并明确所采用的解概念。

模型中的参数 $t$ 也不自动等于实验中的秒数。将曲率流用于界面运动或材料模型时，通常还要说明表面能、迁移率、外力与边界条件。本文球面的时间尺度由方程中的系数一决定。