状态反馈

状态反馈（state feedback）用当前系统状态计算控制输入。对于线性系统，常见形式为 $u=-Kx$；矩阵 $K$ 决定每个状态分量反馈到每个输入通道的权重。状态不仅是当前输出，还包括预测后续运动所需的内部变量，例如位置和速度。

从位置与速度到闭环方程

考虑一个无量纲的二重积分模型：$q$ 表示位置，$v$ 表示速度，控制量 $u$ 表示加速度，满足 $$\dot{q}=v,\dot{v}=u.$$ 把状态写成列向量 $x=(q,v{)}^{𝖳}$，就有 $\dot{x}=Ax+Bu$，其中 $$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right).$$ 采用 $u=-k_{q}q-k_{v}v$ 后，原先可以任意指定的输入变成了由状态决定的量。代回得到 $$\ddot{q}+k_v\dot{q}+k_{q}q=0.$$ 位置项把物体拉回原点，速度项抑制往返振荡；二者承担的任务不同。取 $k_q=2,k_v=3$，特征多项式为 $s^2+3s+2=(s+1)(s+2)$，因此两种指数模态都衰减。

取初值 $q(0)=1,v(0)=0$。设 $q(t)=c_1{e}^{-t}+c_2{e}^{-2t}$，初值给出 $c_1+c_2=1$、$-c_1-2c_2=0$，从而 $$q(t)=2e^{-t}-e^{-2t},v(t)=-2e^{-t}+2e^{-2t},u(t)=2e^{-t}-4e^{-2t}.$$ 这里控制输入最初为 $-2$，随后会改变符号，先加速回移再制动；“一直用同方向的力拉回去”并不能描述完整反馈过程。

同一初值下的位置与速度。位置逐渐靠近零，速度先变负再回零；负速度表示朝原点运动。

一般线性反馈与稳定性

对 $x\in {ℝ}^n$、$u\in {ℝ}^m$，设 $A\in {ℝ}^{n\times n}$、$B\in {ℝ}^{n\times m}$，反馈增益 $K\in {ℝ}^{m\times n}$。代入后 $$\dot{x}=(A-BK)x,x(t)=e^{(A-BK)t}x(0).$$ 连续时间有限维线性系统的原点指数稳定，当且仅当 $A-BK$ 的全部特征值实部严格为负。离散系统 $x_{k+1}=A{x}_k+B{u}_k$ 则要求特征值模严格小于一，两种判据不能混用。选择增益的方法包括极点配置与线性二次调节器；前者指定动态模态，后者另外比较状态偏差与输入消耗。

若某方向完全不受输入影响，反馈也改变不了该方向的自主动态。例如 $A=\mathrm{diag}(1,-1)$、$B=(0,1{)}^{𝖳}$ 时，总有 ${\dot{x}}_1=x_1$，不存在稳定化增益。这一限制由可稳定性描述。

跟踪、测量与输入限制

调节到原点与跟踪常数参考值是不同任务。若已知一个平衡点 $(x_r,u_r)$ 满足 $A{x}_r+B{u}_r=0$，可用 $u=u_r-K(x-x_r)$ 控制偏差。平衡点计算依赖模型；恒定外扰可能留下稳态误差，积分作用或扰动估计可用于另行处理。

状态反馈假定所需状态可获得。只测量位置时，不能凭一个时刻的位置唯一知道速度，需要额外传感器或状态观测器。若执行器存在饱和，实际闭环不再是上述线性方程；增益更大也可能导致更大的峰值输入。工程量纲下，$k_q$ 和 $k_v$ 还须分别具有使各项成为加速度的单位。

变式。 保持 $k_q=2$，改为 $k_v=0$，则 $\ddot{q}+2q=0$。从同一初值出发，$q(t)=\cos (\sqrt{2}t)$，不会趋于零；只有位置反馈并不保证渐近稳定。