标准误

标准误（standard error）是一个估计量在重复抽样中波动的标准差，不是这一次样本里各观测值的标准差。前者衡量“估计值有多稳定”，后者衡量“个体之间有多分散”。

平均数的标准误从哪里来

设 $X_1,\dots ,X_n$ 独立同分布，单个观测的方差为 ${\sigma }^2<\mathrm{\infty }$。由方差的独立相加性， $$\mathrm{Var}(\overline{X})=\mathrm{Var}\left(\frac{1}{n}\sum _i{X}_i\right)=\frac{1}{n^2}\sum _i{\sigma }^2=\frac{{\sigma }^2}{n}.$$ 取平方根，样本均值的真实标准误是 $\sigma /\sqrt{n}$。如果 $\sigma$ 未知，常以样本标准差 $s$ 代入，得到估计标准误 $s/\sqrt{n}$；这不是把 $s$ 当成总体标准差已经知道。

例如单个测量的标准差为12单位，独立测量36次后的平均数标准误为 $12/6=2$ 单位。要降为1单位，在同样条件下需144次，而非72次，因为标准误按 $1/\sqrt{n}$ 缩小。观察值本身的标准差仍约为12，不会因平均更多次而自动变成2。

条件与用途

独立性不能略去。若每次都从同一台未校准仪器读取相同的系统偏差，增加次数可以减少随机噪声，但不会消除共同偏差；若观测之间高度相关，方差相加时还要加入协方差项，$\sigma /\sqrt{n}$ 不再直接适用。简单随机抽样不放回时，还可能有有限总体修正。

标准误进入置信区间的误差范围，也决定许多假设检验统计量的分母。小标准误只说明按模型重复抽样时估计更稳定；抽样框遗漏、无回答偏差等问题不能靠它揭示。

参考资料

• 宾夕法尼亚州立大学 STAT 500：估计标准误与置信区间：均值、比例的标准误。
• OpenStax《Introductory Statistics 2e》第8章导言：样本均值的抽样分布。