格林函数

格林函数（Green's function）是线性微分方程在指定初始条件或边界条件下，对单位点源的响应。把一般外源分解成许多点源，再叠加它们的响应，就能把求解微分方程转化为积分。格林函数由算子、区域和条件共同决定；同一个微分表达式换了边界，通常也要换一个格林函数。

一根两端固定的弦

考虑一根拉紧的细弦，只研究小挠度下的静态位移。选取适当的长度和力的尺度，把弦长与恒定张力都归一化为一，令 $u(x)$ 表示横向位移，$f(x)$ 表示横向分布载荷，模型为 $$-u^{″}(x)=f(x),0<x<1,u(0)=u(1)=0.$$ 两端的位移为零，因此外力造成的弯曲还必须与固定端相容。这里的负号来自所选受力方向；以下所有公式均对应算子 $L=-{\mathrm{d}}^2/\mathrm{d}{x}^2$。恢复有量纲形式时，张力 $T$ 为常数的方程是 $-T{u}^{″}=f$，不能把归一化后的核直接当成任意材料、任意张力下的位移。

先把一个总量为一的集中力施加在 $x=\xi$，其中 $0<\xi <1$。除受力点外没有载荷，所以弦的左右两段都是直线；受力点处弦连续，却会出现斜率突变。把这条折线记为 $G(x,\xi )$：第一个变量是观察位置，第二个变量是施力位置。这个一维例子能直接显示格林函数的构造；一般算子的点源响应及其叠加形式见 MIT 的格林函数讲义。

单位点源的响应随源的位置改变。实线对应 ξ=1/3，折点高度为 2/9；折点处变的是斜率，函数值保持连续。

点源与斜率跳跃

单位点源用狄拉克 delta ${\delta }_{\xi }$ 表示。它不是在一点取“无穷大”的普通函数，而是一种对光滑测试函数取值的规则： $$\int {\delta }_{\xi }(x)\phi (x)\mathrm{d}x=\phi (\xi ).$$ 这一记号把“集中在一点、总量为一”写进了积分。格林函数满足 $$-G_{xx}(x,\xi )={\delta }_{\xi }(x),G(0,\xi )=G(1,\xi )=0,$$ 其中方程在分布意义下理解。对一个包住 $\xi$ 的小区间积分，有 $$-[G_x(\xi +\epsilon ,\xi )-G_x(\xi -\epsilon ,\xi )]=1.$$ 令区间缩小，得到跳跃条件 $$G_x({\xi }^{+},\xi )-G_x({\xi }^{-},\xi )=-1.$$ 在本问题中，$G$ 还必须连续。若 $G$ 自身有非零跳跃，二阶分布导数会产生 delta 的导数，而右侧只有 delta；两者不能相等。

由端点条件，两段直线可写成 $$G(x,\xi )=\{\begin{array}{cc}Ax,& 0\le x\le \xi ,\\ B(1-x),& \xi \le x\le 1.\end{array}$$ 连续性给出 $A\xi =B(1-\xi )$，斜率跳跃给出 $-B-A=-1$。解这两个方程可得 $A=1-\xi$、$B=\xi$，所以 $$G(x,\xi )=\{\begin{array}{cc}x(1-\xi ),& x\le \xi ,\\ \xi (1-x),& x\ge \xi .\end{array}$$ 也可以合写为 $G(x,\xi )=min(x,\xi )[1-max(x,\xi )]$。例如 $\xi =1/3$ 时，左斜率为 $2/3$，右斜率为 $-1/3$，两者之差恰好是 $-1$。由表达式还能看出 $G(x,\xi )=G(\xi ,x)$：在这个自伴边值问题里，交换施力位置与观察位置，响应相同。

从点源叠加到积分解

对连续载荷 $f$，长度为 $\Delta \xi$ 的一小段载荷总量约为 $f(\xi )\Delta \xi$。线性性使它在观察点的响应约为 $G(x,\xi )f(\xi )\Delta \xi$。把小段相加并取极限，得到 $$u(x)={\int }_0^{1}G(x,\xi )f(\xi )\mathrm{d}\xi .$$ 这个公式可以不依赖对 delta 的形式运算来严格核验。按 $\xi =x$ 拆开积分，令 $$A(x)={\int }_0^x\xi f(\xi )\mathrm{d}\xi ,B(x)={\int }_x^1(1-\xi )f(\xi )\mathrm{d}\xi ,$$ 则 $$u(x)=(1-x)A(x)+xB(x).$$ 微积分基本定理给出 $A^{\prime }(x)=xf(x)$、$B^{\prime }(x)=-(1-x)f(x)$。第一次求导时，两个来自积分端点的项正好相消： $$u^{\prime }(x)=-A(x)+(1-x)xf(x)+B(x)-x(1-x)f(x)=-A(x)+B(x).$$ 再求导便有 $$u^{″}(x)=-xf(x)-(1-x)f(x)=-f(x).$$ 两端积分式均为零，因此方程和边界条件全部满足。若有另一个解，两解之差 $w$ 满足 $w^{″}=0$ 和两个零端点；仿射函数只有取零才满足这些条件，所以解唯一。这一证明同时说明积分表示给出的确实是该边值问题的逆，而不仅是一个近似。

逐步算例：向右增大的载荷

取教学载荷 $f(x)=6x$，它的总载荷为 ${\int }_0^{1}6x\mathrm{d}x=3$。代入刚才的两个积分： $$A(x)={\int }_0^{x}6{\xi }^2\mathrm{d}\xi =2x^3,$$ $$B(x)={\int }_x^1(6\xi -6{\xi }^2)\mathrm{d}\xi =1-3x^2+2x^3.$$ 因此 $$u(x)=2x^3(1-x)+x(1-3x^2+2x^3)=x-x^3.$$ 在中点 $u(1/2)=3/8$。最大位移并不恰在载荷最大的右端：右端被固定，位移为零。由 $u^{\prime }=1-3x^2$ 可知，最大值位于 $x=1/\sqrt{3}$，为 $2/(3\sqrt{3})$，约为 $0.3849$。

积分把一族点源响应加起来。四个中点的近似仍可辨认折角，十六个中点更接近光滑的精确解；曲线峰值在 1/√3 附近。

若只想用有限个点源近似，可把区间分成 $m$ 段，取中点 ${\xi }_j=(j-1/2)/m$，计算 $$u_m(x)=\frac{1}{m}\sum _{j=1}^{m}G(x,{\xi }_j)6{\xi }_j.$$ 这里乘以 $1/m$ 是因为 $6{\xi }_j$ 是载荷密度，不是这一段的总载荷。漏掉段长会使总载荷随取点数增加，近似便不再代表同一个问题。图中的比较使用相同载荷和同一组边界，改变的只有积分近似的精细程度。

边界数据与可逆性

若端点改为 $u(0)=a$、$u(1)=b$，先取满足端点的仿射函数 $h(x)=a(1-x)+bx$。由于 $h^{″}=0$，差 $u-h$ 仍满足刚才的零边界问题，于是 $$u(x)=a(1-x)+bx+{\int }_0^{1}G(x,\xi )f(\xi )\mathrm{d}\xi .$$ 这解释了齐次边界核怎样用于非齐次数据，而不是把非零边界直接忽略。

若改成两个零导数条件 $u^{\prime }(0)=u^{\prime }(1)=0$，情况不同。对方程积分即得 $${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=-u^{\prime }(1)+u^{\prime }(0)=0.$$ 所以 $f=1$ 根本没有解；即使相容条件满足，解加上任意常数仍是解。此时算子没有唯一的逆，必须另给平均值等归一化，并使用相应的广义格林函数。格林函数的存在与唯一性因此与原问题的可解性联系在一起。一般区域上，边界修正与积分表示的关系见 Stanford 的讲义。

基本解、核与不同变量的含义

基本解通常先在全空间满足点源方程，尚未加入具体边界。对一维算子 $-{\mathrm{d}}^2/\mathrm{d}{x}^2$，$-|x-\xi |/2$ 就有正确的导数跳跃，但一般不在区间两端为零；补上适当的仿射函数才得到上文的 $G$。因此，能满足点源方程还不足以保证能用于某个边值问题。

在热方程中，点源响应还与经过的时间有关。全实线、扩散率 $\kappa >0$ 的热核为 $$K(x-\xi ,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi \kappa t}}\exp [-\frac{(x-\xi {)}^2}{4\kappa t}],t>0.$$ 固定正时间时，它是一个光滑函数；当 $t\downarrow 0$，它在积分意义下恢复单位点源，而不是逐点收敛到普通函数。初始分布 $u_0$ 的响应可写成 ${\int }_{ℝ}K(x-\xi ,t)u_0(\xi )\mathrm{d}\xi$，适用时须检查初值增长及积分的收敛。静态弦上的核与这里的热核都表达线性响应，但各自处理的变量、条件与物理量不同。

一般写成 $L_{x}G(x,\xi )={\delta }_{\xi }$ 时，下标 $x$ 强调算子作用在观察变量上。对于非自伴算子，不能自动交换 $x$ 与 $\xi$；对于非线性方程，点源响应也通常不能按此方式直接叠加。把一个问题变成积分的前提，正是已经确定的线性结构及相容条件。

相关条目

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