能量估计

能量估计（energy estimate）是通过积分恒等式或不等式控制微分方程解的方法。通常先选择一个非负量，求它随时间的变化，再利用方程、边界条件和不等式限制这种变化。它可以在不知道解的显式公式时证明唯一性、连续依赖或衰减；这里的“能量”也可以是用于分析的平方范数，并不总是某种物理储能。

从温差的整体大小开始

设 $u(x,t)$ 是一根长为 $L$ 的均匀杆相对两端恒温装置的温差，热扩散率为 $\kappa >0$。无热源、零端点温差的问题为 $$u_t=\kappa u_{xx},0<x<L,u(0,t)=u(L,t)=0.$$ 初值 $u(x,0)=g(x)$ 给出起始温差。若想比较两种初始温度或检查数值误差，只看中点温度可能漏掉其他位置的变化。考虑整体平方量 $$E(t)=\frac{1}{2}{\int }_0^{L}u(x,t{)}^2\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\Vert u(t){\Vert }_2^2.$$ 其中 $\Vert u(t){\Vert }_2$ 是固定时间下的空间 $L^2$ 范数。正温差和负温差在平方后都计入大小，不会像平均温差那样相互抵消。零能量意味着温差在几乎处处为零；对连续解，就是处处为零。

先假设解在所考虑的闭时空区域上有连续的时间一阶与空间二阶导数，足以交换微分和积分、使用分部积分，并与边界及初值相容。较弱解也可建立能量估计，但需要用相应的弱形式和逼近论证，而非直接把下列每一步视作逐点求导。

乘以解、积分、保留边界项

对 $E$ 求导，再代入热方程： $$E^{\prime }(t)={\int }_0^{L}u{u}_t\mathrm{d}x=\kappa {\int }_0^{L}u{u}_{xx}\mathrm{d}x.$$ 用分部积分法把二阶导数分配到两个因子上，得到 $$E^{\prime }(t)=\kappa [u{u}_x{]}_0^L-\kappa {\int }_0^L{u}_x^2\mathrm{d}x.$$ 零端点使边界项消失，所以 $$E^{\prime }(t)+\kappa {\int }_0^L{u}_x^2\mathrm{d}x=0.$$ 这是能量恒等式。它把温差平方的减少量，与空间变化的平方联系起来。进一步从零时刻积分到 $T$，得到 $$E(T)+\kappa {\int }_0^T{\int }_0^L{u}_x(x,t{)}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}t=E(0).$$ 于是 $E(T)\le E(0)$，而且时空中的梯度平方积分也受初始能量控制。这个结论没有使用任何解的级数或显式表达式；同类乘解积分法是热方程唯一性的标准证明。

边界项不能先验删去。若端点温度由外部装置随时间改变，$\kappa [u{u}_x{]}_0^L$ 可能给系统输入温差平方。在绝热端点 $u_x=0$ 时该项也为零，但非零常数温差不会消失，因此仅有 $E^{\prime }\le 0$ 并不能推出一定趋于零。

这里的 $E$ 不是杆的总内能。真实热储能的变化与温度的一次积分及热流有关，平方能量则衡量温差的整体大小。不同的分析目标需要不同的能量。

唯一性与对初值的稳定性

设 $u$、$v$ 是具有相同边界和相同热源的两个解。差值 $w=u-v$ 满足无热源、零边界的热方程。因此相同推导给出 $$\Vert u(t)-v(t){\Vert }_2^2\le \Vert u(0)-v(0){\Vert }_2^2.$$ 如果初值相同，右边为零，非负的左边只能等于零，故两解相同。这证明的是至多存在一个解，尚未单独证明解确实存在。若初值只相差一个小误差，上式说明该误差在这个范数下不会增大；这就是连续依赖的一种定量表述。

例如，初值误差为 $\epsilon \sin (3\pi x/L)$ 时，其精确演化为 $$w(x,t)=\epsilon e^{-9\kappa {\pi }^{2}t/L^2}\sin \frac{3\pi x}{L}.$$ 它的范数是 $|\epsilon |\sqrt{L/2}{e}^{-9\kappa {\pi }^{2}t/L^2}$，确实不超过初始值。能量估计覆盖这个例子，也覆盖许多不容易直接写出公式的初值。

边界约束给出衰减率

能量恒等式的右侧含导数，而我们希望直接估计 $E$。对两个端点为零的充分光滑函数，Poincaré 不等式给出 $${\int }_0^L{u}_x^2\mathrm{d}x\ge \frac{{\pi }^2}{L^2}{\int }_0^L{u}^2\mathrm{d}x.$$ 它的意思是：若函数要从零端点升起又回到零，非零的整体幅值就不能伴随任意小的斜率平方。

本情形的常数可以直接证明。令 $\varphi (x)=\sin (\pi x/L)$，在内部写 $u=\varphi v$。对两端为零的 $C^2$ 函数，$v$ 在端点附近有有限极限。展开并整理为 $$u_x^2={\varphi }^2{v}_x^2+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\varphi {\varphi }_x{v}^2)-\varphi {\varphi }_{xx}{v}^2.$$ 先在 $[\epsilon ,L-\epsilon ]$ 上积分，再令 $\epsilon \downarrow 0$。用 ${\varphi }_{xx}=-(\pi /L{)}^2\varphi$，边界项因 $\varphi$ 趋零、$v$ 有界而消失，得到 $${\int }_0^L{u}_x^2\mathrm{d}x-\frac{{\pi }^2}{L^2}{\int }_0^L{u}^2\mathrm{d}x={\int }_0^L{\varphi }^2{v}_x^2\mathrm{d}x\ge 0.$$ 取 $u=C\sin (\pi x/L)$ 时等号成立，因此常数不能再增大。

把这个不等式代回能量恒等式： $$E^{\prime }(t)\le -\frac{2\kappa {\pi }^2}{L^2}E(t).$$ 令 ${\lambda }_1=2\kappa {\pi }^2/L^2$，则 $(e^{{\lambda }_{1}t}E(t){)}^{\prime }\le 0$，从而 $$E(t)\le E(0)e^{-2\kappa {\pi }^{2}t/L^2}.$$ 注意能量是范数的平方，所以范数的对应衰减率为 $e^{-\kappa {\pi }^{2}t/L^2}$，两者相差因子二。指数中的量应无量纲；$\kappa$ 的单位为长度平方除以时间，正好抵消 $t/L^2$。

完整算例：两种温度模式

选用无量纲单位，令 $L=\kappa =1$，初值为 $$g(x)=\sin (\pi x)+\frac{1}{2}\sin (2\pi x).$$ 这是一组为展示计算而构造的初始温差。直接求导可核验 $$u(x,t)=e^{-{\pi }^{2}t}\sin (\pi x)+\frac{1}{2}{e}^{-4{\pi }^{2}t}\sin (2\pi x)$$ 满足方程、零端点和初值。第二模式有更密的空间起伏，它的幅度衰减率是第一模式的四倍。

第二模式比第一模式消失得更快，剖面不仅降低，也逐渐接近第一模式的对称形状。

由正弦函数的正交性，交叉项的积分为零，而每个正弦平方的积分为 $1/2$，所以 $$E(t)=\frac{1}{4}{e}^{-2{\pi }^{2}t}+\frac{1}{16}{e}^{-8{\pi }^{2}t},E(0)=\frac{5}{16}.$$ 能量估计不区分每个模式，给出的上界是 $$E(t)\le \frac{5}{16}{e}^{-2{\pi }^{2}t}.$$ 由于 $e^{-8{\pi }^{2}t}\le e^{-2{\pi }^{2}t}$，可直接逐项确认上界。对只有第一模式的初值，估计恰好成为等式；加入第二模式后，早期会有额外的快速衰减。

实线为精确能量，虚线为只根据初始总量和零端点得到的上界。纵轴采用对数尺度，直线斜率表示指数衰减率。

外源与积分不等式

若方程变成 $u_t=\kappa u_{xx}+F(x,t)$，外源会对能量做功。零边界下有 $$E^{\prime }(t)+\kappa \Vert u_x(t){\Vert }_2^2={\int }_0^{L}F(x,t)u(x,t)\mathrm{d}x.$$ 用柯西不等式，再用任意 $\lambda >0$ 的加权平方不等式 $ab\le \lambda a^2/2+b^2/(2\lambda )$，得到 $$E^{\prime }(t)\le \lambda E(t)+\frac{1}{2\lambda }\Vert F(t){\Vert }_2^2.$$ 若时间有量纲，$\lambda$ 应有时间倒数的量纲，以保持等式各项单位一致。乘以积分因子 $e^{-\lambda t}$ 后积分，得到 $$E(t)\le e^{\lambda t}E(0)+\frac{1}{2\lambda }{\int }_0^t{e}^{\lambda (t-s)}\Vert F(s){\Vert }_2^2\mathrm{d}s.$$ 这是 Grönwall 型估计的一个直接形式。它通常不是最紧上界，但能把未知解的大小控制在已知初值和外源上。比较具有不同热源的两个解时，把 $F$ 换成热源之差，即得到误差受数据控制的估计；若保留耗散项并结合 Poincaré 不等式，还能进一步改进长期界。

波动方程中的另一种能量

对固定端点的波动方程 $u_{tt}=c^2{u}_{xx}$，只取 $\int u^2$ 不能直接得到同样的耗散结构。取 $$ℰ(t)=\frac{1}{2}{\int }_0^L(u_t^2+c^2{u}_x^2)\mathrm{d}x$$ 才把速度平方与形变平方配在一起。将波动方程乘以 $u_t$ 并分部积分，得到 $${ℰ}^{\prime }(t)=c^2[u_t{u}_x{]}_0^L.$$ 固定端点的位移始终为零，因此端点速度 $u_t$ 也为零，能量保持不变。这与热方程的衰减不同：理想弦在动能与势能之间交换，理想热传导则平滑温差。波动方程的能量法及解的比较可参见 Stanford 的讲义。

能量估计的关键是找到与方程结构相配的非负量，并检查它控制了什么。一个平方积分界本身不保证每个点的导数有界，也不自动给出解的存在；要从整体控制走向更强的结论，通常还需要正则性、紧性或其他估计。

相关条目

• 热方程与波动方程
• 分部积分法、傅里叶级数
• 伯格斯方程中的黏性耗散