泊松过程

泊松过程描述独立而以固定平均速率到来的随机事件。计数 $N(t)$ 表示区间 $[0,t]$ 的到达次数；速率 $\lambda >0$ 的齐次泊松过程满足 $N(0)=0$、互不重叠时间段的增量独立，且长度为 $h$ 的增量服从参数 $\lambda h$ 的泊松分布： $$P(N(t+h)-N(t)=k)=e^{-\lambda h}\frac{(\lambda h{)}^k}{k!},k=0,1,2,\dots .$$ 这里的“齐次”表示平均速率不随时间变；模型说的是随机机制，而非保证每小时恰好到达 $\lambda$ 次。

半小时等到下一单的概率

若某服务台每小时平均有 2 次到达，按齐次模型，半小时无到达概率为 $e^{-2(1/2)}=e^{-1}\approx 0.3679$；至少一次为 $1-e^{-1}\approx 0.6321$。一小时到达三次的概率是 $e^{-2}{2}^3/3!\approx 0.1804$。区间拉长一倍，参数从 1 变 2，不是把“至少一次”的概率简单乘 2。

等待时间由零次事件推出

记 $T_1$ 为第一次到达的等待时间。事件 $\{T_1>t\}$ 等价于 $\{N(t)=0\}$，所以 $P(T_1>t)=e^{-\lambda t}$；因此 $T_1$ 服从参数 $\lambda$ 的指数分布，均值 $1/\lambda$。独立平稳增量又使到达后从头等待的时间有相同分布且独立。这解释了“到达次数是泊松、相邻等待是指数”之间的关系，而不是把两个分布名称并排记忆。

图中横轴是时间，阶梯每跳一次表示一次到达；同样长的两个时间窗跳数可以不同，但在模型下它们有相同的概率分布。实际建模时先核查时间段之间是否近似独立、速率是否明显有昼夜变化、事件是否成簇出现；若到达由同一故障引发一批报告，方差可能超过均值，负二项分布与过度离散计数或非齐次模型可能更合适。服务系统的等待还受服务时长影响，不能仅由到达速率推出平均排队时长，见排队论与利特尔定律。

泊松过程的一条可能样本路径；平均速率不规定每段的实际次数。

参考资料与相关词条

• MIT 18.445：泊松过程讲义。
• 相关：泊松分布、指数分布、随机过程、排队论与利特尔定律。