模

在代数中，模把向量空间中的“标量”从域推广为环。整数对整数的乘法构成一个例子：$\mathbb{Z}$ 本身是整数环上的模，但整数 $2$ 没有整数乘法逆元，因而不能像向量空间那样任意除以非零标量。

定义

设 $R$ 是有单位元的环。一个左 $R$-模由阿贝尔群 $(M,+)$ 与标量作用 $R\times M\to M$ 组成，记为 $(r,m)\mapsto rm$，并满足 $$r(m+n)=rm+rn,(r+s)m=rm+sm,$$ $$(rs)m=r(sm),1m=m.$$ 这里 $r,s\in R$，$m,n\in M$。环若不交换，左模和右模需要区分；下面的例子使用交换环。

例子：整数作用在循环群上

设 $M=\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$，加法按六取余，整数 $n$ 作用在 $\overline{x}$ 上定义为 $n\overline{x}=\overline{nx}$。例如 $$4\overline{2}=\bar{8}=\overline{2},3\overline{2}=\overline{0}.$$ 这里 $\overline{2}\ne \overline{0}$，却有非零整数 $3$ 把它送到零；这是模中可能出现的挠现象。$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 不是实数向量空间：若假设它有实数标量作用，$3\overline{2}=0$ 两边再乘 $1/3$ 会推出 $\overline{2}=0$，矛盾。

任何阿贝尔群都能成为 $\mathbb{Z}$-模：正整数通过重复相加作用，零作用为零，负整数通过取相反元作用。反过来，$\mathbb{Z}$-模的加法结构本来就是阿贝尔群；其整数作用由 $1m=m$ 和分配律唯一确定。于是研究整数模等同于研究阿贝尔群。

子模与同态

子集 $N\subseteq M$ 若对加法、相反元及所有环元素的作用封闭，就是子模。例如在 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 中，$\{\overline{0},\overline{2},\overline{4}\}$ 对整数倍与加法封闭，构成子模。模同态 $f:M\to N$ 同时保持加法和标量作用，即 $f(x+y)=f(x)+f(y)$、$f(rx)=rf(x)$。

同态的核是子模：若 $f(x)=f(y)=0$，则 $f(x-y)=0$；对任意 $r\in R$，$f(rx)=rf(x)=0$。像同样是子模。由此可以构造商模，并用正合列记录这些映射的核与像。

模的生成集不一定能化成基，也不一定具有唯一坐标；例如有限的 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 不可能是非零自由 $\mathbb{Z}$-模。环为域时，模恰是通常的向量空间，这时熟悉的基与维数理论才适用。