次鞅

次鞅（submartingale）是条件期望倾向于不下降的随机过程。它允许每一步实际下跌，只要求根据当前信息平均下一步时，结果不少于当前值。它与鞅、上鞅的区别在条件期望中的不等号方向，不能从一条观测轨迹是否总体上升来判定。

定义与平方随机游走

给定滤过 $({ℱ}_n)$，过程 $X_n$ 适应于它，并满足 $𝔼|X_n|<\mathrm{\infty }$。若对每个 $n$， $$𝔼[X_{n+1}\mid {ℱ}_n]\ge X_n\text{几乎必然},$$ 则称为次鞅。等号处处成立时也是鞅。用塔式法则可将一步不等式推广到任意有限后续时刻，所以 $𝔼[X_n]$ 非递减，但普通期望递增并不能反过来保证次鞅性质。

对独立公平正负一步游走 $S_n$，令 $X_n=S_n^2$。平方展开给出 $𝔼[X_{n+1}\mid {ℱ}_n]=X_n+1$，故它是次鞅。在 $S_n=1$ 时，下一步平方值可能从一降到零，也可能升到四；平均为二，仍比当前的一大。

最后一步可以向下，但条件平均为二。次鞅限制平均增量，不限制每条分支单调。

更一般地，若 $M_n$ 是鞅，$\phi$ 是凸函数，且 $\phi (M_n)$ 可积，则条件Jensen不等式给出 $$𝔼[\phi (M_{n+1})\mid {ℱ}_n]\ge \phi (𝔼[M_{n+1}\mid {ℱ}_n])=\phi (M_n).$$ 故 $|M_n|$、在二阶矩存在时的 $M_n^2$ 都是次鞅。可积条件不可省略，否则两侧可能不是有限的条件期望。

可预测增长与Doob分解

对离散时间次鞅，定义 $$A_0=0,A_n=\sum _{k=1}^n𝔼[X_k-X_{k-1}\mid {ℱ}_{k-1}],M_n=X_n-A_n.$$ 每个增量 $A_k-A_{k-1}$ 非负，且在下一步发生前已经由 ${ℱ}_{k-1}$ 决定，所以 $A_n$ 非递减且可预测。再取条件期望， $$𝔼[M_n-M_{n-1}\mid {ℱ}_{n-1}]=𝔼[X_n-X_{n-1}\mid {ℱ}_{n-1}]-(A_n-A_{n-1})=0.$$ 因此 $X_n=M_n+A_n$，把公平波动与可预测增长分开。若另有同样规范 $A_0=0$ 的分解，两者之差既是可预测鞅又有初值零；其下一增量已知且条件均值零，只能为零，故分解唯一。

在平方游走例中，$A_n=n$，$M_n=S_n^2-n$。这里的补偿项不是对一条路径事后拟合出的趋势线，而是由每一步的条件漂移定义。

非负次鞅的有限时极大界

若进一步有 $X_n\ge 0$，对 $\lambda >0$ 和确定的有限 $N$， $$Pr(\underset{0\le n\le N}{max}{X}_n\ge \lambda )\le \frac{𝔼[X_N]}{\lambda }.$$ 证明取首次达到阈值的时刻 $\tau$，只在 $\tau \le N$ 的事件上求和。因为 $\{\tau =k\}\in {ℱ}_k$，次鞅性质给出 $$𝔼[X_N{1}_{\{\tau \le N\}}]=\sum _{k=0}^N𝔼[1_{\{\tau =k\}}𝔼[X_N\mid {ℱ}_k]]\ge \sum _{k=0}^N𝔼[X_k{1}_{\{\tau =k\}}]\ge \lambda Pr(\tau \le N).$$ 再用 $X_N\ge 0$ 将左边上界为 $𝔼[X_N]$，即得结论。负值可出现的一般次鞅则需采用正部等相应版本，不能省去此处非负假设。

变式。 对平方游走取 $N=2,\lambda =4$。到第二步前达到四，仅发生在连续两步同号，概率为 $1/2$。右侧为 $𝔼[S_2^2]/4=2/4=1/2$，本例恰达到界限。若阈值改为三，实际概率仍为二分之一，而界为三分之二，说明不等式不一定每次取等号。