鞅

鞅（martingale）是一种相对于逐步获得的信息没有可预测条件漂移的随机过程。它要求已知过去信息后，下一步的条件期望等于当前值；它不要求数值不变，也不要求涨跌独立。描述一个过程是不是鞅，必须同时说明信息结构。

定义中的三个条件

在概率空间上给定递增的信息族 ${ℱ}_0\subseteq {ℱ}_1\subseteq \cdots$，称为滤过。实值过程 $M_n$ 是关于该滤过的鞅，当且仅当每个 $n$ 都满足：$M_n$ 对 ${ℱ}_n$ 可测；$𝔼|M_n|<\mathrm{\infty }$；以及 $$𝔼[M_{n+1}\mid {ℱ}_n]=M_n\text{几乎必然}.$$ 第一条件表示当前数值已知，第二条件保证条件期望有意义。由塔式法则，若 $m<n$，则 $𝔼[M_n\mid {ℱ}_m]=M_m$，故普通期望不随时间改变。只有普通期望相等，还远远不够。

公平随机游走与平方补偿

令 ${\xi }_i$ 独立等概率取 $1,-1$，$S_n=\sum _{i=1}^n{\xi }_i$，信息为 ${ℱ}_n=\sigma ({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)$。下一增量独立于已有信息且均值零，所以 $$𝔼[S_{n+1}\mid {ℱ}_n]=S_n+𝔼[{\xi }_{n+1}\mid {ℱ}_n]=S_n.$$ 路径会随机起伏，但条件平均没有上升或下降倾向。

在每个节点，下一步两个可能值的平均等于当前值。中间的零节点由两条不同历史到达，总概率为二分之一。

平方过程却不再公平。展开 $S_{n+1}^2=(S_n+{\xi }_{n+1}{)}^2$，条件期望中的交叉项为零，平方增量的期望为一，因此 $$𝔼[S_{n+1}^2\mid {ℱ}_n]=S_n^2+1.$$ 减去确定增长项后，$M_n=S_n^2-n$ 才成为鞅。在两步时，$S_2$ 为 $2,0,-2$，概率为 $1/4,1/2,1/4$；$M_2$ 相应为 $2,-2,2$，期望为零。只看平方值越来越分散，不能把它叫作原随机游走的公平收益。

由条件期望构造鞅

若终值 $Z$ 可积，令 $M_n=𝔼[Z\mid {ℱ}_n]$。它可测、可积，且 $$𝔼[M_{n+1}\mid {ℱ}_n]=𝔼[𝔼[Z\mid {ℱ}_{n+1}]\mid {ℱ}_n]=𝔼[Z\mid {ℱ}_n]=M_n.$$ 它表示不断收到信息时，对同一个终值所作的更新；并不表示每次更新都更大。

变式。 掷两次公平硬币，令 $Z$ 为正面总数。未掷时 $M_0=1$；第一次正面后 $M_1=3/2$，反面后 $M_1=1/2$；两次都看完后 $M_2=Z$。在两个第一步节点，下一步更新的平均分别仍为 $3/2$ 与 $1/2$。

有界停时的期望保持

设停时 $\tau \le N$，其中 $N$ 是确定有限整数。逐项写出 $$M_{\tau }-M_0=\sum _{k=1}^N{1}_{\{\tau \ge k\}}(M_k-M_{k-1}).$$ 是否在第 $k$ 步前尚未停止，属于 ${ℱ}_{k-1}$ 中的信息。对每项先取条件期望，鞅增量的条件均值为零，故 $𝔼[M_{\tau }]=𝔼[M_0]$。有限求和也确保没有偷换无穷极限。

若不限制停时，不能直接延用等式。公平游走从零首次到达一的停时几乎必然有限，但停止值恒为一，而每个固定时刻的期望为零；问题在于该无界停止规则不满足这里的有界条件。更一般的可选抽样定理需要一致可积性等额外假设。

若把所有未来增量在初始时刻就告诉观察者，原游走关于这套扩大的信息通常不再是鞅：下一步已经知道是正一还是负一。公平性始终相对于允许使用的信息，而非只相对于路径图。