正则变化

正则变化描述一个最终为正的函数在自变量按固定比例缩放时，函数值渐近地按幂次缩放的性质。它既包含精确幂函数，也允许带上对数等缓慢变化的修正，因此适合分析尾概率和渐近积分。

定义与尺度指数

设 $f$ 可测，在充分大的 $x$ 上严格为正。若对每个固定 $c>0$， $$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(cx)}{f(x)}=c^{\rho },$$ 则称 $f$ 在无穷远处正则变化，指数为 $\rho \in ℝ$。指数可以为正、零或负。指数为零时，定义恰为缓慢变化。

如果令 $L(x)=f(x)/x^{\rho }$，那么 $$\frac{L(cx)}{L(x)}=\frac{f(cx)}{f(x)}{c}^{-\rho }⟶1.$$ 因此定义等价于写成 $f(x)=x^{\rho }L(x)$，其中 $L$ 缓慢变化。这个分解是代数恒等式，而不是说 $L$ 必然收敛到某个常数。

尾概率的具体计算

令 $X\ge 1$，并设其尾概率为 $Pr(X>x)=x^{-2}$（$x\ge 1$）。这是形状参数为二的帕累托模型。对任意 $c>0$，当 $x$ 充分大时， $$\frac{Pr(X>cx)}{Pr(X>x)}=\frac{(cx{)}^{-2}}{x^{-2}}=c^{-2}.$$ 特别地，阈值从十增至二十，尾概率从 $1/100$ 降到 $1/400$，比例恰为 $1/4$。当尾部带有 $\log x$ 等修正因子时，这个比例通常只在阈值越来越大时趋于 $1/4$。

同为非负变量，幂律尾部和指数尾部在高阈值处有不同衰减尺度；曲线参数为教学示例。

由尾部计算矩

对于非负随机变量和 $p>0$，利用 $X^p={\int }_0^{X}p{t}^{p-1}dt$ 并交换非负积分， $$𝔼[X^p]=p{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{p-1}Pr(X>t)dt.$$ 上述帕累托例在 $t\ge 1$ 时的尾积分为 $p{\int }_1^{\mathrm{\infty }}{t}^{p-3}dt$，所以 $p<2$ 时有限，$p\ge 2$ 时发散。一般正则变化尾部指数为 $-\alpha$ 时，$p=\alpha$ 的临界情形还依赖缓慢变化因子，不能只凭指数作统一判断。

指数分布的尾 $e^{-x}$ 不属于正则变化：对 $c>1$，缩放比 $e^{-(c-1)x}\to 0$，不可能等于某个有限实指数给出的正常数 $c^{\rho }$。不同研究也可能讨论零点附近的正则变化，此时应另行指定极限方向。