缓慢变化函数

缓慢变化函数是指在自变量乘以任意固定正常数时，其函数值之比在无穷远处趋于一的函数。它刻画的是乘法尺度上的相对变化：函数可以持续增长或趋于零，并不要求收敛到一个有限的正常数。它常作为正则变化函数中的修正因子。

定义和对数例子

设 $L$ 是定义在充分大的正数上的可测、最终严格为正的函数。如果对每个固定的 $c>0$， $$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{L(cx)}{L(x)}=1,$$ 则称 $L$ 在无穷远处缓慢变化。这里先固定 $c$，再令 $x\to \mathrm{\infty }$；不能让 $c$ 随 $x$ 任意改变，仍直接使用定义。

以 $L(x)=\log x$（$x>1$）为例，对任意固定 $c>0$，当 $x$ 足够大时有 $$\frac{L(cx)}{L(x)}=1+\frac{\log c}{\log x}⟶1.$$ 例如 $x=10$ 时倍增比约为 $1.301$，$x=1000$ 时约为 $1.100$。比值靠近一，而 $\log x$ 本身仍趋于无穷大。图中曲线对应 $c=2$；虚线表示极限一。

倍增输入时对数函数的相对变化。

构造和反例

若 $L_1,L_2$ 缓慢变化且最终为正，则其乘积也缓慢变化，因为相应比值是两个趋于一的比值之积；同理，对任意实数 $a$，$L^a$ 也缓慢变化。因此 $(\log x{)}^a$ 和 $1/\log x$ 都是例子。

缓慢变化甚至可以有界振荡而不收敛。对充分大的 $x$，令 $L(x)=2+\sin (\log \log x)$。因为正弦函数是 1-Lipschitz 的，固定 $c>0$ 时 $$\begin{array}{cc}|L(cx)-L(x)|& \le |\log \log (cx)-\log \log x|\\ & ⟶0.\end{array}$$ 又 $L(x)\ge 1$，相对比值趋于一。与此不同，$e^{\sin (\log x)}$ 不是缓慢变化：取 $c=e^{\pi }$，再沿 $x_n=e^{2\pi n}$ 和 $y_n=e^{2\pi n+\pi /2}$ 比较，比值分别为一和 $e^{-2}$，不能同时趋于一。

与幂函数比较

$x^{\rho }L(x)$ 的缩放比是 $c^{\rho }L(cx)/L(x)$，因而极限为 $c^{\rho }$；这正是正则变化的一个基本构造。对数例子中，$x^{-2}\log x$ 与纯幂函数 $x^{-2}$ 的比值并不收敛到正常数，但两者具有相同的缩放指数 $-2$。

实测数据在有限范围上看似平缓，并不能单独证明上述对所有 $c$ 成立的极限。需要先给出所用渐近模型，再结合数据和误差研究其适用范围。