正合列

正合列用一串同态精确记录“哪些元素被上一个映射产生，哪些元素被下一个映射送到零”。一个位置正合，是说前一个映射的像恰好等于后一个映射的核。

从整数取余看正合

考虑整数上的两个映射：先乘三，再对三取余。 $$\mathbb{Z}\stackrel{\times 3}{\to }\mathbb{Z}\stackrel{\pi }{\to }\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}.$$ 第一个映射的像是 $3\mathbb{Z}$。第二个映射把整数 $n$ 送到剩余类 $\overline{n}$，其核恰是三的倍数 $3\mathbb{Z}$。两者相等，故该列在中间的 $\mathbb{Z}$ 处正合。

整数乘三的像恰是取模三映射的核；两端零说明首映射单射、末映射满射。

一般定义

对于群同态、模同态等允许谈论核和像的映射，序列 $$\cdots ⟶A_{i-1}\stackrel{f_{i-1}}{\to }{A}_i\stackrel{f_i}{\to }{A}_{i+1}⟶\cdots$$ 在 $A_i$ 处正合，指 $\mathrm{im}{f}_{i-1}=\ker f_i$。当序列在每个要求的位置都正合时，称为正合列。单有 $f_i{f}_{i-1}=0$ 只说明像包含在核中；二者相等还要求每个被 $f_i$ 消去的元素都来自 $f_{i-1}$。

例如令 $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ 为乘二，$g:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 为取模四。复合 $gf$ 不恒为零：$gf(1)=\overline{2}$。若改用乘四，则复合为零，且像 $4\mathbb{Z}$ 等于取模四的核，因此此处正合。若改用乘八，复合仍为零，但像 $8\mathbb{Z}$ 严格包含于核 $4\mathbb{Z}$，因此不正合。

短正合列

短正合列写为 $$0⟶A\stackrel{i}{\to }B\stackrel{p}{\to }C⟶0.$$ 左端正合表示 $i$ 的核为零，即 $i$ 单射；右端正合表示 $p$ 的像为整个 $C$，即 $p$ 满射。中间正合再给出 $\mathrm{im}i=\ker p$。因此第一同构定理给出 $B/i(A)\cong C$。

前面的整数例子补上零后就是短正合列：乘三是单射，取模三是满射。它也显示短正合列未必分裂：若有同态 $s:\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ 且 $\pi s=\mathrm{i}\mathrm{d}$，则 $3s(\overline{1})=s(\overline{0})=0$，而整数中只有零满足三倍为零，因而 $s(\overline{1})=0$，与 $\pi s(\overline{1})=\overline{1}$ 矛盾。若额外存在这样的截面，同一短正合列才具有相应分裂结构。