特征多项式

特征多项式把矩阵的特征值问题转成多项式求根。对 $n\times n$ 矩阵 $A$，约定 $p_A(\lambda )=det(\lambda I-A)$。它是首项系数为 1 的 $n$ 次多项式；若另一资料写 $det(A-\lambda I)$，奇数阶时整式差一个负号，但根相同。

从一个二阶矩阵计算

令 $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right)$。则 $$\begin{array}{cc}{p}_A(\lambda )& =det\left(\begin{array}{cc}\lambda -2& -1\\ 0& \lambda -3\end{array}\right)\\ & =(\lambda -2)(\lambda -3)\\ & ={\lambda }^2-5\lambda +6.\end{array}$$ 因此特征值为 2 和 3。$\lambda =2$ 时解 $(A-2I)v=0$，可取 $v=(1,0{)}^T$；$\lambda =3$ 时可取 $v=(1,1{)}^T$。在所取数域内，特征多项式的根就是特征值；对应的特征向量仍须解齐次方程，取其中的非零解。

行列式为零的判据

若 $Av=\lambda v$ 且 $v\ne 0$，则 $(\lambda I-A)v=0$，所以 $\lambda I-A$ 不可逆，行列式为零。反过来，行列式零意味着该方阵有非零零空间，取其中 $v$ 就得到特征向量。这证明了 $p_A(\lambda )=0$ 与“$\lambda$ 是特征值”等价。

对 $2\times 2$ 矩阵，展开行列式得到 $p_A(\lambda )={\lambda }^2-(\mathrm{tr}A)\lambda +detA$。本例迹为 5、行列式为 6，和上面的计算一致。还可直接核对 $A^2-5A+6I=0$，这是凯莱—哈密顿定理在该矩阵上的实例；单次核对不能代替任意阶定理的证明。高阶数值计算通常不先显式展开特征多项式再用通用求根器，因为系数扰动与求根误差可能放大；小矩阵手算与理论推导仍十分有用。

参考资料与相关词条

• MIT 18.06：特征值与特征方程。
• 相关：特征值与特征向量、行列式、谱半径。