谱半径

方阵 $A$ 的谱半径是其复特征值模的最大值：$\rho (A)=max\{|\lambda |:p_A(\lambda )=0\}$。它衡量反复施加同一线性变换时潜在的长期增长，常用于迭代算法和离散动态系统。实矩阵也可能有复特征值，因此定义中的最大值不能只在实数里找。

两步放大的一张矩阵

取 $A=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 0\end{array}\right)$。计算 $p_A(\lambda )={\lambda }^2-2$，两特征值是 $\pm \sqrt{2}$，故 $\rho (A)=\sqrt{2}$。另一方面，$A^2=2I$，所以每做两步长度整体乘以 2；每步的长期增长因子正是 $\sqrt{2}$。此处一条轴先流向另一条轴，不能只看对角线两个零就判断系统会消失。

迭代收敛的判据

对固定有限维方阵，$A^k\to 0$ 当且仅当 $\rho (A)<1$。若 $A$ 可对角化为 $V\Lambda V^{-1}$，证明直接可见：$A^k=V{\Lambda }^k{V}^{-1}$，每个对角元 ${\lambda }_i^k$ 都趋零恰在 $|{\lambda }_i|<1$ 时。不可对角化时，Jordan 块的幂还带 $k^j{\lambda }^k$ 之类项；当 $|\lambda |<1$，指数衰减仍压过固定次数的多项式增长。若某特征值模至少为 1，沿其复特征向量的 $A^{k}v={\lambda }^{k}v$ 不可能趋零。

应用到定点迭代 $x_{k+1}=A{x}_k+c$：若存在定点 $x_{\ast }$，误差满足 $e_{k+1}=A{e}_k$；因此谱半径小于 1 保证任意初始误差最终消失。它不保证最初几步单调变小：非正规矩阵可能有明显的暂态放大。也不要把谱半径等同于矩阵范数，例如本例的某些范数与 $\sqrt{2}$ 不相等。

参考资料与相关词条

• MIT 18.086：迭代方法与谱半径。
• 相关：特征多项式、特征值与特征向量、矩阵范数、数值稳定性。