状态转移矩阵

状态转移矩阵（state transition matrix）是把线性动力系统在一个时刻的状态映射到另一个时刻的矩阵。它的每一列，表示一个单位初始分量在系统演化后变成什么；任意初始状态的轨迹则由这些列按初始分量加权组合。

时变系统中，这个矩阵不仅取决于总经过时间，还取决于各段动力作用的先后。例如先沿水平方向剪切，再沿竖直方向剪切，与交换两段次序会产生不同终点。状态转移矩阵记录的正是这种带时间顺序的演化，而不是简单把各时刻的系数平均。

定义与列的含义

考虑实线性系统 $$\dot{x}(t)=A(t)x(t),x(t)\in {ℝ}^n.$$ 先设 $A:I\to {ℝ}^{n\times n}$ 在区间 $I$ 上连续。对每个初始时刻 $s\in I$，定义 $\Phi (t,s)$ 为矩阵初值问题的唯一解： $${\partial }_t\Phi (t,s)=A(t)\Phi (t,s),\Phi (s,s)=I_n.$$ 初始状态为 $x(s)=x_s$ 时，解为 $x(t)=\Phi (t,s)x_s$。代回方程并在 $t=s$ 检查，就验证了这条表示。若 $e_j$ 是第 $j$ 个标准基向量，第 $j$ 列就是初值 $e_j$ 的解。连续时间的定义及输入响应可参见 Dahleh 等人的教材。

若系数分段连续、每个有限区间只有有限个跳点，仍可定义连续、分段可微的状态转移矩阵，微分方程在各连续区间成立，整体满足积分方程。后面的切换例子使用这一情形，不在切换瞬间要求左右导数相等。

基本矩阵与可逆性

设 $Y(t)$ 的列是 $n$ 个齐次解，在某个时刻线性无关，称为基本矩阵。它在整个区间上都可逆。证明可以只用线性初值问题的唯一性：若在某个 $t_{\ast }$ 有 $Y(t_{\ast })c=0$，则 $Y(t)c$ 是在 $t_{\ast }$ 取零的解。零解有同一初值，故两者在整个区间相同；在原本线性无关的时刻便推出 $c=0$。因此不存在非零核。

为了使初始矩阵等于单位矩阵，只需归一化： $$\Phi (t,s)=Y(t)Y(s{)}^{-1}.$$ 一般基本矩阵 $Y(t)$ 未必满足 $Y(s)=I_n$，所以不能在未检查初始归一化时直接把它当作 $\Phi (t,s)$。基本矩阵及其可逆性的教学推导见 Orloff 讲义。

由这个表达式可得三个直接用于计算的恒等式： $$\Phi (s,s)=I_n,\Phi (t,r)\Phi (r,s)=\Phi (t,s),\Phi (t,s{)}^{-1}=\Phi (s,t).$$ 中间一式表示先从 $s$ 走到 $r$，再从 $r$ 走到 $t$，后发生的映射乘在左边。它与矩阵乘法作用于列向量的次序一致。

对连续系数，还可对起始时刻求导。由 $(Y^{-1}{)}^{\prime }=-Y^{-1}{Y}^{\prime }{Y}^{-1}$ 得 $${\partial }_s\Phi (t,s)=-\Phi (t,s)A(s).$$ 注意 $A(s)$ 在右侧，而对终止时刻求导时 $A(t)$ 在左侧。一般矩阵并不交换，这两个式子的次序有实质区别。

常系数与时间顺序

当 $A$ 不随时间改变时， $$\Phi (t,s)=e^{A(t-s)},e^{A\tau }=I_n+A\tau +\frac{A^2{\tau }^2}{2!}+\cdots .$$ 逐项求导可验证定义，$\tau =0$ 时为单位矩阵。时变情形则一般不能写成 $e^{{\int }_s^{t}A(r)\mathrm{d}r}$。如果不同时刻的 $A$ 两两交换，这个写法是可用的；缺少交换性时，矩阵乘积会保留被积分总和丢失的时间顺序。

考虑两段各持续一单位时间的系统： $$A(t)=\{\begin{array}{cc}{A}_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),& 0\le t<1,\\ A_2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right),& 1\le t\le 2.\end{array}$$ 因为 $A_1^2=A_2^2=0$，指数级数只剩两项： $$e^{A_1}=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right),e^{A_2}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right).$$ 所以先 $A_1$ 后 $A_2$ 的总映射为 $$\Phi (2,0)=e^{A_2}{e}^{A_1}=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right).$$ 若把两段的发生次序交换，则得到另一套系统的总映射 $$e^{A_1}{e}^{A_2}=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right).$$ 例如初始状态 $(1,0{)}^{𝖳}$ 在原次序下先保持不动，再到达 $(1,1{)}^{𝖳}$；交换次序时先到 $(1,1{)}^{𝖳}$，再到 $(2,1{)}^{𝖳}$。

起点 (1,0)。原次序中第一段不动、第二段沿竖直方向到 (1,1)；交换次序时先竖直到 (1,1)，再水平到 (2,1)。虚线箭头标明后一段。

原系统的逆向转移则是 $$\Phi (0,2)=\Phi (2,0{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 1\end{array}\right),$$ 它不是交换两段正向动力作用的矩阵。逆向回推必须把每一段都逆转，并倒转组合次序。

如果只把系数积分再取指数，由 ${\int }_0^{2}A(t)\mathrm{d}t=A_1+A_2$，会得到 $$e^{A_1+A_2}=\left(\begin{array}{cc}\cosh 1& \sinh 1\\ \sinh 1& \cosh 1\end{array}\right),$$ 其第一列约为 $(1.5431,1.1752{)}^{𝖳}$，与上述两个真实终点都不同。这是一个可直接复算的反例。

两列组成的几何映射

同一切换系统在中间时刻的矩阵是 $$\Phi (t,0)=\{\begin{array}{cc}\left(\begin{array}{cc}1& t\\ 0& 1\end{array}\right),& 0\le t\le 1,\\ \left(\begin{array}{cc}1& 1\\ t-1& t\end{array}\right),& 1\le t\le 2.\end{array}$$ 两段在 $t=1$ 都等于 $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$，所以状态不会跳变。终点矩阵的两列为 $(1,1{)}^{𝖳}$ 与 $(1,2{)}^{𝖳}$；初始单位正方形变成由这两个向量张成的平行四边形。

虚线为初始单位正方形，实线为 Φ(2,0) 的像。边向量就是矩阵两列，行列式为一，所以面积不变；形状和向量长度并不保持。

面积变化可以推广到一般线性系统。设 $d(t)=det\Phi (t,s)$，由行列式求导及可逆性， $$d^{\prime }=d\mathrm{tr}({\Phi }^{-1}A\Phi )=d\mathrm{tr}A.$$ 其中 $\mathrm{tr}$ 为对角元素之和。结合 $d(s)=1$ 得 $$det\Phi (t,s)=\exp ({\int }_s^t\mathrm{tr}A(r)\mathrm{d}r)>0.$$ 本例每一段的迹为零，故面积始终为一。一般情况下行列式不为零说明有限时间转移可逆，却不保证数值求逆不放大误差。

可运行的两段计算

下列 Python 对上述两种剪切计算原次序的终点。输入为两个有限状态分量和两段非负持续时间，输出为新的二元组，不修改原状态。每段按自己的方程精确推进，所需时间和额外空间均为常数；它是这个具体系统的计算，不是任意矩阵指数求解器。

Python 3

import math


def switching_flow(x0, first_duration=1.0, second_duration=1.0):
    x1, x2 = map(float, x0)
    a, b = float(first_duration), float(second_duration)
    if not all(math.isfinite(v) for v in (x1, x2, a, b)):
        raise ValueError("finite inputs required")
    if min(a, b) < 0:
        raise ValueError("durations must be nonnegative")
    after_first = (x1 + a * x2, x2)
    result = (after_first[0], after_first[1] + b * after_first[0])
    if not all(math.isfinite(v) for v in result):
        raise OverflowError("intermediate or result outside floating-point range")
    return result


print(switching_flow((1, 0)))  # (1.0, 1.0)
print(switching_flow((0, 1)))  # (1.0, 2.0)
print(switching_flow((2, 3), 0, 0))  # (2.0, 3.0)

读者可把初态改成 $(2,3{)}^{𝖳}$：一单位第一段得到 $(5,3{)}^{𝖳}$，一单位第二段得到 $(5,8{)}^{𝖳}$。它也等于 $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)(2,3{)}^{𝖳}$。两段时间都为零时必须返回原状态，这也是代码的边界核验。

外部输入与非线性系统

加入输入 $b(t)$ 后，连续系数初值问题的解为 $$x(t)=\Phi (t,s)x_s+{\int }_s^t\Phi (t,r)b(r)\mathrm{d}r.$$ 对它求时间导数，积分上限产生 $\Phi (t,t)b(t)=b(t)$，其余各项共同产生 $A(t)x(t)$，于是得到原方程。这是参数变易法的状态空间形式。

对非线性系统 $x^{\prime }=f(t,x)$，整体初值到终值的映射一般不是矩阵。若 $f$ 对状态足够光滑，在一条参考轨迹 $x_{\ast }(t)$ 附近可用变分方程 $\delta x^{\prime }=D_{x}f(t,x_{\ast }(t))\delta x$ 描述一阶微小扰动；其状态转移矩阵描述局部灵敏度，不能当作对任意大扰动都精确的全局映射。稳定与不稳定还需考察长期转移和适当范数，不能只由某个时刻矩阵的可逆性判定。