参数变易法

参数变易法（variation of parameters，亦称常数变易法）是求解非齐次线性微分方程的一种方法。先求无外部输入时的齐次解，再把其中的常数改为待求函数，使它们随输入变化。它把“系统自身怎样演化”和“外部输入怎样累积”分开，适用于一阶方程、二阶方程及线性方程组。

例如，一个量以正比于自身大小的速率消耗，同时又不断得到补充。消耗规律决定既有部分怎样衰减，补充项则在不同时间进入系统。参数变易法不仅能求出总量，还能说明早先输入到现在剩下多少。

一阶线性方程的构造

设 $a,b$ 在区间 $I$ 上连续，初值问题为 $$y^{\prime }=a(t)y+b(t),y(t_0)=y_0.$$ 齐次方程 ${y_h}^{\prime }=a(t)y_h$ 有非零解 $$\varphi (t)=\exp ({\int }_{t_0}^{t}a(r)\mathrm{d}r),\varphi (t_0)=1.$$ 齐次通解为 $C\varphi (t)$。现在允许 $C=C(t)$，代入 $y=\varphi C$： $$y^{\prime }={\varphi }^{\prime }C+\varphi C^{\prime }=a\varphi C+\varphi C^{\prime }.$$ 与原方程比较，已有的齐次项恰好抵消，留下 $\varphi C^{\prime }=b$。因指数函数不为零，可以相除并积分： $$C(t)=y_0+{\int }_{t_0}^t\varphi (s{)}^{-1}b(s)\mathrm{d}s.$$ 因此 $$y(t)=\varphi (t)y_0+{\int }_{t_0}^t\frac{\varphi (t)}{\varphi (s)}b(s)\mathrm{d}s.$$ 第一项是初始量的演化，第二项把每个时刻输入的贡献送到当前时刻。公式的构造可参见 MIT 的参数变易讲义。

随时间增加的输入

取无量纲教学模型 $$y^{\prime }+2y=1+t,y(0)=0,t\ge 0.$$ 齐次解为 $C{e}^{-2t}$。令 $y=e^{-2t}C(t)$，得到 $C^{\prime }=e^{2t}(1+t)$。选取积分下限零，自动保持初值： $$C(t)={\int }_0^t{e}^{2s}(1+s)\mathrm{d}s={\left[e^{2s}(\frac{s}{2}+\frac{1}{4})\right]}_0^t=e^{2t}(\frac{t}{2}+\frac{1}{4})-\frac{1}{4}.$$ 乘回衰减因子，得 $$y(t)=\frac{t}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}{e}^{-2t}.$$ 逐项核验：$y^{\prime }=1/2+e^{-2t}/2$，因此 $y^{\prime }+2y=1+t$，且 $y(0)=0$。在 $t=1$ 时，$y(1)=3/4-e^{-2}/4\approx 0.716166$。

y=(t/2+1/4)−e^(−2t)/4。线性部分满足受迫方程，衰减部分调整初值；两者相加才是指定初值的解。

这也说明非齐次方程的特解不唯一。$t/2+1/4$ 已是一个特解，但其零时刻值为 $1/4$；加上齐次解 $-e^{-2t}/4$ 才满足本题初值。对同一连续线性初值问题，最终解仍唯一。

输入在各时刻的贡献

本例的积分形式为 $$y(t)=e^{-2t}{y}_0+{\int }_0^t{e}^{-2(t-s)}b(s)\mathrm{d}s.$$ 在一个短时间段 $[s,s+\mathrm{d}s]$ 内补入的量约为 $b(s)\mathrm{d}s$，到 $t$ 时剩下 $e^{-2(t-s)}b(s)\mathrm{d}s$。积分累加了这些不同“年龄”的贡献；它不是把当前输入乘以总经过时间。

例如改为只在 $0\le t<1$ 以单位速率补充、随后停止，且 $y_0=0$。把积分截到输入存在的时段，得 $$y(t)=\{\begin{array}{cc}(1-e^{-2t})/2,& 0\le t\le 1,\\ (1-e^{-2})e^{-2(t-1)}/2,& t\ge 1.\end{array}$$ 停止输入后存量并不立即消失，而是继续衰减。在 $t=1$，解连续、导数发生跳变；这里的输入分段连续，所以方程在各连续区间成立，并可整体按积分形式解释。前面要求连续的定理不能原封不动地说成此例在跳点也具有连续导数。

二阶方程与辅助条件

对标准化的二阶线性方程 $$y^{″}+p(t)y^{\prime }+q(t)y=r(t),$$ 设 $p,q,r$ 连续，已知齐次方程的两个线性无关解 $y_1,y_2$。令 $$y=C_1(t)y_1(t)+C_2(t)y_2(t).$$ 一个函数用两个待求系数表示，存在冗余，因此可以增加方便的辅助条件 $${C_1}^{\prime }{y}_1+{C_2}^{\prime }{y}_2=0.$$ 由此 $y^{\prime }=C_1{y_1}^{\prime }+C_2{y_2}^{\prime }$。再求一次导数并代入，利用两个齐次解各自满足方程，所有含 $C_1,C_2$ 本身的项相消，只剩 $${C_1}^{\prime }{y_1}^{\prime }+{C_2}^{\prime }{y_2}^{\prime }=r.$$ 与辅助条件组成两元线性方程组。其行列式为 Wronskian $$W=y_1{y_2}^{\prime }-{y_1}^{\prime }{y}_2.$$ 线性无关的齐次解在这个连续系数区间上满足 $W\ne 0$，所以 $${C_1}^{\prime }=-\frac{y_{2}r}{W},{C_2}^{\prime }=\frac{y_{1}r}{W}.$$ 分别积分即可得到系数。若原方程是 $a_2{y}^{″}+a_1{y}^{\prime }+a_{0}y=g$，须先在 $a_2\ne 0$ 的区间除以 $a_2$，把右端改为 $r=g/a_2$。不能把未标准化的 $g$ 直接代入这个公式。

无阻尼共振的计算

考虑 $$y^{″}+y=\cos t,y(0)=y^{\prime }(0)=0.$$ 齐次解为 $y_1=\cos t,y_2=\sin t$，故 $W={\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1$。从零积分、令两个系数的初值为零，得到 $$C_1(t)=-{\int }_0^t\sin s\cos s\mathrm{d}s=-\frac{1}{2}{\sin }^{2}t,$$ $$C_2(t)={\int }_0^t{\cos }^{2}s\mathrm{d}s=\frac{t}{2}+\frac{1}{4}\sin 2t.$$ 代回组合，$\sin 2t=2\sin t\cos t$ 使两个三角乘积项抵消，留下 $$y(t)=\frac{t}{2}\sin t.$$ 直接求导，$y^{\prime }=(\sin t+t\cos t)/2$，$y^{″}=\cos t-(t/2)\sin t$，确有 $y^{″}+y=\cos t$。初值也满足。$t=\pi /2$ 时位移为 $\pi /4$，$t=\pi$ 时又回到零。

y=(t/2)sin t 的包络为 ±t/2。位移和位移绝对值都不是单调增长；增长的是振荡峰值所受的线性包络尺度。

输入频率与系统固有频率相同，使系数中累积了一个随 $t$ 增长的部分。参数变易法无需预先猜测“乘一个时间因子”，就能自然得到这个共振项。它也解释了固定频率的亥姆霍兹方程在理想共振处可能没有有界单频稳态解。

线性方程组的形式

设 $x^{\prime }=A(t)x+b(t)$，其中 $A$ 是连续的 $n\times n$ 矩阵，$b$ 是连续向量。令基本矩阵 $Y(t)$ 的各列为齐次系统的线性无关解，所以 $Y^{\prime }=AY$ 且 $Y$ 可逆。置 $x=Yc(t)$ 后，乘积法则给出 $$AYc+Y{c}^{\prime }=AYc+b,c^{\prime }=Y^{-1}b.$$ 因此带初值的解为 $$x(t)=Y(t)Y(t_0{)}^{-1}{x}_0+{\int }_{t_0}^{t}Y(t)Y(s{)}^{-1}b(s)\mathrm{d}s.$$ 矩阵次序不能交换；矩阵 $Y(t)Y(s{)}^{-1}$ 正是从 $s$ 到 $t$ 的状态转移矩阵。基本矩阵的性质及参数变易的定积分形式见 Orloff 讲义。

若将基本矩阵改为 $\tilde{Y}=YC$，其中 $C$ 是常可逆矩阵，则 $\tilde{Y}(t)\tilde{Y}(s{)}^{-1}=Y(t)C{C}^{-1}Y(s{)}^{-1}=Y(t)Y(s{)}^{-1}$。所以最终响应不依赖选择哪一组齐次基解。

这是一种线性方程的精确表示，不保证积分有初等表达式，也不自动保证数值计算稳定。高维计算往往直接求解线性系统，避免显式形成病态的基本矩阵及其逆；非线性方程也不能简单把“常数变函数”后照搬这个叠加公式。