直线与圆、圆与圆的位置关系

直线与圆、圆与圆的位置关系可用“距离与半径比较”判断。比较之前先读出圆心和正半径；若方程根本不是一个实圆，切线、交点数的判据便无从使用。

直线与圆：圆心到直线的距离

圆心 $C$ 到直线 $L$ 的垂足为 $H$ ，记 $C H = d$ 。直线上的任意点 $P$ 满足直角三角形关系 $C P^{2} = C H^{2} + H P^{2} = d^{2} + H P^{2}$ 。要求 $C P = r$ ，便是 $H P^{2} = r^{2} - d^{2}$ ：右边正、零、负时，分别有两个、一个、零个交点。一个交点的直线称为切线，其切点正是 $H$ 。

同一圆的割线、切线和外离直线，圆心到各直线的垂距分别小于、等于、大于半径 — 比较的是圆心到整条直线的最短距离，不是图上随意选一段斜线。

例如圆 $x^{2} + y^{2} = 25$ 半径为 5。直线 $y = 3$ 的距离为 3，代入圆方程得 $x^{2} = 16$ ，交点 $(\pm 4, 3)$ ； $y = 5$ 在 $(0, 5)$ 相切； $y = 6$ 没有交点。斜线 $3 x + 4 y = 25$ 到原点的距离是 $25 / \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$ ，切点为 $(3, 4)$ ，因为它既满足直线又满足圆方程。

圆与割线相交两点时，垂足 $H$ 是公共弦的中点。这来自上面的式子：以 $H$ 为原点沿直线量取的有符号坐标分别为 $\pm \sqrt{r^{2} - d^{2}}$ ，两个交点在 $H$ 的两侧，故弦长为 $2 \sqrt{r^{2} - d^{2}}$ 。例如 $x^{2} + y^{2} = 25$ 被 $y = 3$ 截出的弦长为 $2 \sqrt{25 - 9} = 8$ ，恰与两交点横坐标之差 $4 - (- 4)$ 相同。这个垂足辅助线把“交点数”和“弦长”接在同一个直角三角形里。

两个圆：沿圆心连线比较

两圆的半径 $r_{1}, r_{2} > 0$ ，圆心距离 $d > 0$ 。若有公共点 $P$ ，三角形边长 $r_{1}, r_{2}, d$ 必须满足 $| r_{1} - r_{2} | \leq d \leq r_{1} + r_{2}$ 。严格处于两界之间时有两个交点；等于上界为外切，等于下界为内切；超过上界是外离，低于下界是一圆完全在另一圆内、边界不相交。这里 $d = 0$ 要另算：半径相等时两圆重合、公共点无穷多；半径不等时没有公共点。

两圆 $x^{2} + y^{2} = 25$ 与 $(x - 6)^{2} + y^{2} = 9$ 的圆心距为 6，半径为 5 和 3。因 $2 < 6 < 8$ ，有两个交点。两式相减得 $- 12 x + 36 = 9 - 25 = - 16$ ，故 $x = 13 / 3$ ；代回第一式得 $y = \pm 2 \sqrt{14} / 3$ 。由此既有位置判定，也有可核对的交点坐标。把第二个圆的圆心改为 $(8, 0)$ ，圆心距变为半径和 8，两圆仅在 $(5, 0)$ 外切。

交点数与方程

联立直线与圆的方程消去一个变量，会得到一元二次方程；判别式的正、零、负与距离判据的三种情形一致。距离判据更直接地给出几何理由，消元法适合求精确坐标。圆与圆联立时，两圆方程相减消去 $x^{2} + y^{2}$ ，得到公共弦所在直线，再与任一圆求交。这条直线在两圆不相交时仍可能存在代数表达，却没有真实的公共弦。

参考资料

OpenStax，College Algebra，§2.1：坐标距离与圆。
先修：圆的方程、直线的交点与距离；后续：圆锥曲线。